后缀自动机专题

如果不算pre指针的话后缀自动机就是一个DAG，这是它能很方便地进行dp的前提。

而pre指针返回什么呢，返回的就是上一个的前缀包含改结点所代表子串的那个后缀，和AC自动机上的fail指针很像，都是为了匹配。我目前学得不深，看不出和AC自动机的fail指针有什么区别，用起来也几乎一样。

相比于字典树和回文树，后缀自动机每个结点会有多个父结点，可以表示多种子串(从根节点到它的每条路径都是一个子串)，因此子串的信息只能在路径中记录，比如长度，而该子串说记录的长度step，则是根结点到它的最远距离，而某个子串的长度就是该代表该子串的路径的长度了，并不一定是某个结点的step。

spoj1811

求两个串的最长公共子串的长度。

对A串建立后缀自动机，对B串进行匹配，如果匹配失败，沿着失败指针往回走到第一个能匹配的位置继续匹配(看起来似曾相识？没错，这不是AC自动机的过程吗。。。)，当然如果到根节点还不能继续匹配，那就只有从头再来了。这里随时记录长度更新答案即可。

当然后缀数组也可以做，把两个串拼接起来，求lcp即可。。。然后后缀自动机好快。。。。在spoj上居然60ms过了。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=2000100;
const int INF=1e9+10;

struct SAM
{
    int ch[maxn][26];
    int pre[maxn],step[maxn];
    int last,tot;
    void init()
    {
        last=tot=0;
        memset(ch[0],-1,sizeof(ch[0]));
        pre[0]=-1;
        step[0]=0;
    }
    void add(int c)
    {
        c-='a';
        int p=last,np=++tot;
        step[np]=step[p]+1;
        memset(ch[np],-1,sizeof(ch[np]));
        while(~p&&ch[p][c]==-1) ch[p][c]=np,p=pre[p];
        if(p==-1) pre[np]=0;
        else{
            int q=ch[p][c];
            if(step[q]!=step[p]+1){
                int nq=++tot;
                step[nq]=step[p]+1;
                memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                pre[nq]=pre[q];
                pre[q]=pre[np]=nq;
                while(~p&&ch[p][c]==q) ch[p][c]=nq,p=pre[p];
            }
            else pre[np]=q;
        }
        last=np;
    }
    int find(char *s)
    {
        int len=strlen(s);
        int res=0,tmp=0;
        int u=0;
        REP(i,0,len-1){
            int c=s[i]-'a';
            if(~ch[u][c]) tmp++,u=ch[u][c];
            else{
                while(~u&&ch[u][c]==-1) u=pre[u];
                if(~u) tmp=step[u]+1,u=ch[u][c];
                else tmp=0,u=0;
            }
            res=max(res,tmp);
        }
        return res;
    }
};SAM sam;
char s[maxn],t[maxn];

void solve()
{
    sam.init();
    int len=strlen(s);
    REP(i,0,len-1) sam.add(s[i]);
    printf("%d
",sam.find(t));
}

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%s%s",s,t)){
        solve();
    }
    return 0;
}

 spoj1812

求多个串的最长公共子串的长度。

对第一个串建立SAM，每个结点多维护两个信息：当前串在该结点匹配到的最长长度Max，多个串在该结点匹配到的最短长度Min，然后逐个放到SAM去更新这些信息就可以了，最后的结果显然是所有结点Min的最大值。

然后需要注意的一点是(这一点也加深了我对后缀自动机的理解)，这里和AC自动机的fail指针不一样的是这个比AC自动机具有拓扑关系，是纯粹的DAG，更像回文树，因此匹配更新的时候就不要像AC自动机那样匹配到一个就找沿着fail指针往回走了，因为这样在SAM中是n^2的复杂度，但是可以像回文树计算cnt一样处理，匹配完之后逆序遍历一遍，用每个点更新它的pre结点。

当然后缀数组也可以做，把串都拼接起来，然后二分长度在height数组上滑动窗口检验是否包含n个即可。。。然后后缀自动机真的好快。。。150ms。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=1000100;
const int INF=1e9+10;

struct SAM
{
    int ch[maxn][26];
    int pre[maxn],step[maxn];
    int last,tot;
    int Min[maxn],Max[maxn];
    void init()
    {
        last=tot=0;
        memset(ch[0],-1,sizeof(ch[0]));
        pre[0]=-1;step[0]=0;
        Min[0]=Max[0]=0;
    }
    void add(int c)
    {
        c-='a';
        int p=last,np=++tot;
        step[np]=step[p]+1;
        memset(ch[np],-1,sizeof(ch[np]));
        Min[np]=Max[np]=step[np];
        while(~p&&ch[p][c]==-1) ch[p][c]=np,p=pre[p];
        if(p==-1) pre[np]=0;
        else{
            int q=ch[p][c];
            if(step[q]!=step[p]+1){
                int nq=++tot;
                step[nq]=step[p]+1;
                memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                Min[nq]=Max[nq]=step[nq];
                pre[nq]=pre[q];
                pre[q]=pre[np]=nq;
                while(~p&&ch[p][c]==q) ch[p][c]=nq,p=pre[p];
            }
            else pre[np]=q;
        }
        last=np;
    }
    void find(char *s)
    {
        int len=strlen(s);
        int u=0;
        int tmp=0;
        REP(i,0,tot) Max[i]=0;
        REP(i,0,len-1){
            int c=s[i]-'a';
            if(~ch[u][c]) tmp++,u=ch[u][c];
            else{
                while(~u&&ch[u][c]==-1) u=pre[u];
                if(~u) tmp=step[u]+1,u=ch[u][c];
                else tmp=0,u=0;
            }
            Max[u]=max(Max[u],tmp);
        }
        for(int i=tot;i>=1;i--) Max[pre[i]]=max(Max[pre[i]],Max[i]);
        REP(i,0,tot) Min[i]=min(Min[i],Max[i]);
    }
    int calc()
    {
        int res=0;
        REP(i,0,tot) res=max(res,Min[i]);
        return res;
    }
};SAM A;
char s[maxn];
int len;

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%s",s);len=strlen(s);
    A.init();
    REP(i,0,len-1) A.add(s[i]);
    while(~scanf("%s",s)) A.find(s);
    printf("%d
",A.calc());
    return 0;
}

 spoj8222

求一个串的长度为1到len的出现最多的子串的出现的次数。

这道题弄了一下午，终于渐渐清晰了起来，这道题终于使我能够理解pre指针和AC自动机的区别了。pre指针所引出来的parent树真是SAM的精髓。

对于这道题，虽然有很多要写的，但是现在过于兴奋不知从何写起，，，有时间再补上。。。

需要注意的一点是，这里虽然是parent树是拓扑图引出来的，但在parent树递推计算right的时候不能向回文树一样直接逆序遍历，会出错，需要记一下度数做一次拓扑排序。

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=1000100;
const int INF=1e9+10;

char s[maxn];
int ans[maxn];
struct SAM
{
    int ch[maxn][26];
    int pre[maxn],step[maxn];
    int last,tot;
    int right[maxn],in[maxn];
    void init()
    {
        last=tot=0;
        memset(ch[0],-1,sizeof(ch[0]));
        pre[0]=-1;
        step[0]=0;
    }
    void add(int c)
    {
        c-='a';
        int p=last,np=++tot;
        step[np]=step[p]+1;
        memset(ch[np],-1,sizeof(ch[np]));
        right[np]=1;
        while(~p&&ch[p][c]==-1) ch[p][c]=np,p=pre[p];
        if(p==-1) pre[np]=0;
        else{
            int q=ch[p][c];
            if(step[q]!=step[p]+1){
                int nq=++tot;
                memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                step[nq]=step[p]+1;
                pre[nq]=pre[q];
                pre[q]=pre[np]=nq;
                while(~p&&ch[p][c]==q) ch[p][c]=nq,p=pre[p];
            }
            else pre[np]=q;
        }
        last=np;
    }
    void calc()
    {
        MS0(in);
        REP(i,1,tot) in[pre[i]]++;
        queue<int> q;
        REP(i,1,tot) if(!in[i]) q.push(i);
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop();
            if(pre[u]==-1) continue;
            right[pre[u]]+=right[u];
            if(--in[pre[u]]==0) q.push(pre[u]);
        }
        MS0(ans);
        REP(i,1,tot) ans[step[i]]=max(ans[step[i]],right[i]);
    }
};SAM sam;

void solve()
{
    sam.init();
    int len=strlen(s);
    REP(i,0,len-1) sam.add(s[i]);
    sam.calc();
    for(int i=len-1;i>=1;i--) ans[i]=max(ans[i],ans[i+1]);
    REP(i,1,len) printf("%d
",ans[i]);
}

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%s",s)){
        solve();
    }
    return 0;
}

spoj SUBLEX

多次询问一个串字典序第k大的子串，先dp递推出个数，然后直接dfs查找就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=2000100;
const int INF=1e9+10;

char s[maxn];
int n;ll k;
char ans[maxn];int ansn;
struct SAM
{
    int ch[maxn][26];
    int pre[maxn],step[maxn];
    int last,tot;
    ll dp[maxn];
    void init()
    {
        last=tot=0;
        memset(ch[0],-1,sizeof(ch[0]));
        pre[0]=-1;
        step[0]=0;
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
    }
    void add(int c)
    {
        c-='a';
        int p=last,np=++tot;
        step[np]=step[p]+1;
        memset(ch[np],-1,sizeof(ch[np]));
        while(~p&&ch[p][c]==-1) ch[p][c]=np,p=pre[p];
        if(p==-1) pre[np]=0;
        else{
            int q=ch[p][c];
            if(step[q]!=step[p]+1){
                int nq=++tot;
                memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                step[nq]=step[p]+1;
                pre[nq]=pre[q];
                pre[q]=pre[np]=nq;
                while(~p&&ch[p][c]==q) ch[p][c]=nq,p=pre[p];
            }
            else pre[np]=q;
        }
        last=np;
    }
    ll dfs(int u)
    {
        ll &res=dp[u];
        if(~res) return res;
        res=1;
        REP(c,0,25){
            if(~ch[u][c]) res+=dfs(ch[u][c]);
        }
        return res;
    }
    void find(int u,ll k)
    {
        if(u) k--;
        if(k<=0) return;
        REP(c,0,25){
            int v=ch[u][c];
            if(~v){
                ll tmp=dfs(v);
                if(k-tmp<=0){
                    ans[ansn++]=c+'a';
                    find(v,k);
                    return;
                }
                k-=tmp;
            }
        }
    }
};SAM sam;

void solve()
{
    sam.init();
    int len=strlen(s);
    REP(i,0,len-1) sam.add(s[i]);
    REP(i,1,n){
        scanf("%d",&k);
        ansn=0;
        sam.find(0,k);
        ans[ansn]='';
        puts(ans);
    }
}

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%s",s);
    scanf("%d",&n);
    solve();
    return 0;
}

 -------------------------

关于LCT维护SAM，目的就是在线维护right数组，就是用LCT去在线维护parent树，其实就是在线维护right集合的时候需要在连接结点u和pre[u]维护parent树时需要在u到根的路径上的结点的right值全部+1，然后连接结点涉及删边加边，所以用LCT。。。例题，bzoj2555。

bzoj2555:

如上，用LCT去维护parent来实现在线维护SAM，调了一下午。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=3200100;
const int INF=1e9+10;

char s[maxn];
int len;
char op[20];
int Q;

struct LCT
{
    int pre[maxn],ch[maxn][2],rev[maxn];
    int val[maxn],add[maxn];
    void init()
    {
        MS0(pre);MS0(ch);MS0(rev);MS0(add);
        MS0(val);
    }
    void update_add(int x,int w)
    {
        if(!x) return;
        val[x]+=w;
        add[x]+=w;
    }
    void update_rev(int x)
    {
        if(!x) return;
        swap(ch[x][0],ch[x][1]);
        rev[x]^=1;
    }
    void down(int x)
    {
        if(add[x]){
            update_add(ch[x][0],add[x]);
            update_add(ch[x][1],add[x]);
            add[x]=0;
        }
        if(rev[x]){
            update_rev(ch[x][0]);
            update_rev(ch[x][1]);
            rev[x]=0;
        }
    }
    bool isroot(int x)
    {
        return ch[pre[x]][0]!=x&&ch[pre[x]][1]!=x;
    }
    void up(int x)
    {

    }
    void P(int x)
    {
        if(!isroot(x)) P(pre[x]);
        down(x);
    }
    void rot(int x,int kind)
    {
        int y=pre[x];
        ch[y][kind^1]=ch[x][kind];
        pre[ch[x][kind]]=y;
        if(!isroot(y)) ch[pre[y]][ch[pre[y]][1]==y]=x;
        pre[x]=pre[y];
        ch[x][kind]=y;
        pre[y]=x;
        up(y);
    }
    void splay(int x)
    {
        P(x);
        while(!isroot(x)){
            if(isroot(pre[x])) rot(x,ch[pre[x]][0]==x);
            else{
                int y=pre[x],z=pre[y];
                int kind=ch[y][0]==x,one=0;
                if(ch[y][0]==x&&ch[z][0]==y) one=1;
                if(ch[y][1]==x&&ch[z][1]==y) one=1;
                if(one) rot(y,kind),rot(x,kind);
                else rot(x,kind),rot(x,kind^1);
            }
        }
        up(x);
    }
    int access(int x)
    {
        int t=0;
        while(x){
            splay(x);
            ch[x][1]=t;t=x;x=pre[x];
            up(t);
        }
        return t;
    }
    void makeroot(int x)
    {
        access(x);splay(x);update_rev(x);
    }
    void ADD(int x,int y,int w)
    {
        makeroot(x);access(y);splay(y);
        update_add(y,w);
    }
    void cut(int x,int y)
    {
        makeroot(x);access(y);splay(y);ch[y][0]=pre[x]=0;up(y);
        ADD(y,1,-val[x]);
    }
    void link(int x,int y)
    {
        makeroot(x);pre[x]=y;up(y);
        ADD(y,1,val[x]);
    }
    int query(int x)
    {
        splay(x);
        return val[x];
    }
};LCT lct;

struct SAM
{
    int ch[maxn][26];
    int pre[maxn],step[maxn];
    int last,tot;
    int newnode(int k)
    {
        ++tot;
        step[tot]=k;
        MS0(ch[tot]);
        pre[tot]=0;
        return tot;
    }
    void init()
    {
        tot=0;
        last=newnode(0);
        lct.init();
    }
    void add(int c)
    {
        c-='A';
        int p=last,np=newnode(step[p]+1);
        lct.val[np]=1;
        while(p&&ch[p][c]==0) ch[p][c]=np,p=pre[p];
        if(p==0) pre[np]=1,lct.link(np,1);
        else{
            int q=ch[p][c];
            if(step[q]!=step[p]+1){
                int nq=newnode(step[p]+1);
                memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                lct.cut(q,pre[q]);
                lct.link(nq,pre[q]);
                lct.link(q,nq);
                lct.link(np,nq);
                pre[nq]=pre[q];
                pre[q]=pre[np]=nq;
                while(p&&ch[p][c]==q) ch[p][c]=nq,p=pre[p];
            }
            else pre[np]=q,lct.link(np,q);
        }
        last=np;
    }
    int find(char *s)
    {
        int len=strlen(s);
        int u=1;
        REP(i,0,len-1){
            int c=s[i]-'A';
            if(ch[u][c]) u=ch[u][c];
            else return 0;
        }
        return lct.query(u);
    }
};SAM sam;

void decode(char *s,int mask)
{
    int len=strlen(s);
    REP(i,0,len-1){
        mask=(mask*131+i)%len;
        swap(s[i],s[mask]);
    }
}

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&Q)){
        scanf("%s",s);
        len=strlen(s);
        sam.init();
        REP(i,0,len-1) sam.add(s[i]);
        int mask=0;
        REP(i,1,Q){
            scanf("%s%s",op,s);
            decode(s,mask);
            if(op[0]=='A'){
                len=strlen(s);
                REP(i,0,len-1) sam.add(s[i]);
            }
            else{
                int res=sam.find(s);
                printf("%d
",res);
                mask^=res;
            }
        }
    }
    return 0;
}

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