2019-ACM-ICPC-南京区网络赛-D. Robots-DAG图上概率动态规划
【Problem Description】
有向无环图中，有个机器人从(1)号节点出发，每天等概率的走到下一个节点或者停在当前节点，并且第(i)天消耗(i)的耐久度。求它到达(n)号节点时期望消耗的耐久度是多少？
题目保证只有一个入度为(0)的节点，只有一个出度为(0)的节点。
【Solution】
概率(dp)。
假设每天消耗(1)点耐久度。定义(dp[u])表示从(u)节点走到(n)节点的期望消耗的耐久度。定义(v)为(u)的后继节点。(du[u])表示(u)节点的出度。则有：
[dp[u]=frac{sum(dp[v]+1)}{du[u]+1}+frac{dp[u]+1}{du[u]+1}
]
表示(u)到(n)的期望消耗的耐久度为从(u)开始不停留走到(n)的期望消耗的耐久度+从(u)开始停留一天再走到(n)所消耗的耐久度。此时求出来的可以等价为第(i)天期望消耗的耐久度。
再用同样的公式求得答案即可：
[ans[u]=frac{sum(ans[v]+dp[v]+1)}{du[u]+1}+frac{ans[u]+dp[u]+1}{du[u]+1}
]
【Code】
/*
* @Author: Simon
* @Date: 2019-09-05 20:22:25
* @Last Modified by: Simon
* @Last Modified time: 2019-09-05 21:26:57
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int Int;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 100005
vector<int>g[maxn];
bool vis[maxn];
double dp[maxn],dp1[maxn];
void dfs(int u,int n){
if (vis[u]) return; //判断不能放在for循环中,否则就缺少一层回溯
if(u==n) return;
vis[u] = 1;
int du=0;
for(auto v:g[u]){
dfs(v,n);
dp[u]+=dp[v]+1;
dp1[u]+=dp1[v]+dp[v]+1;
du++; //统计出度
}
dp[u]=(dp[u]+1)/du;
dp1[u]=(dp1[u]+dp[u]+1)/du;
}
Int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
//freopen("input.in","r",stdin);
//freopen("output.out","w",stdout);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int T;cin>>T;
while(T--){
int n,m;cin>>n>>m;
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(dp1,0,sizeof(dp1));
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;cin>>u>>v;
g[u].push_back(v);
}
dfs(1,n);
cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2);
cout<<dp1[1]<<endl;
for(int i=0;i<=n;i++) g[i].clear();
}
#ifndef ONLINE_JUDGE
cout<<endl;system("pause");
#endif
return 0;
}