Codeforces Round #691 (Div. 2)

B. Move and Turn（数学）

题意：

从原点出发走n步，只能上下左右四个方向，且除了第一步之外每次走都要做九十度的转弯。求最终可以到达的位置的个数

题解：

/*
当n为偶数时，可以看作水平走了 k = n/2 步，垂直方向也走了 k = n/2 步，水平方向上有 -k, -k + 2, -k + 4, ..., k - 2, k.
共 k + 1 个位置可以到达，垂直方向同理，因此可以到达 (k + 1) * (k + 1) 个位置
当n为奇数时，可以看作水平多走一步或者垂直方向上多走了一步。因此有 2 * (k + 1) * (k + 2) 个位置可以到达，此时水平多走一步到达的
位置是唯一的（记作集和1），垂直方向多走一步到达的位置也是唯一的（记作集和2），且这两个集和无交集，因为水平或垂直方向上两者总是会
至少相差1
*/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int n, ans;
    scanf("%d", &n);
    int k = n / 2;
    if (n & 1 ) {
        ans = 2 * (k + 1) * ( k + 2);
    }
    else {
        ans = (k + 1) * (k + 1);
    }
    printf("%d
", ans);
}

C. Row GCD（数论）

题意：

输入n和m (1 <= n, m <= 2*10^5) 

随后输入n个数a[i]，

然后输入m个数b[j]，

对于每一个b[j]，求gcd(a[1] - b[j], a[2] - b[j], ......a[n - b[j])。

题解：

/*
因为 gcd(a, b) = gcd(a - b, b), 对于多个数来说也成立，即gcd(a, b, c, ...) = gcd(a - b, b, c, ...)
因此 gcd(a[0] + b[j], a[1] + b[j], ......, a[n - 1] + b[j]) = gcd(a[0] + b[j], a[1] - a[0], ......, a[n - 1] - a[0])
令GCD = gcd(a[1] - a[0], ......, a[n - 1] - a[0]), 所以结果就是 gcd(GCD, a[0] + b[j])
*/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m;
long long a[200005];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    sort(a, a + n);
    long long GCD = 0, b_i, a_0 = a[0];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        GCD = __gcd(GCD, a[i] - a_0);
    }
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%lld", &b_i);
        b_i = __gcd(a_0 + b_i, GCD);
        printf("%lld
", b_i);
    }
    return 0;
}

D. Glass Half Spilled（DP）

题意：

有 n 个杯子，第 i 个杯子的容量为 a[i] 毫升，其中有 b[i] 毫升的水，杯子中的水可以互相倒如另一个杯子中，由于手抖，倒水的时候会洒出来一半，只能留下一半的水，

问 依次取k（1~n）个杯子，可以得到的最多的水量是多少。

题解：

/*
首先，假设取了k个杯子的总容量为 AS，其中包含的水量为 BS，n个杯子总的水量为 B，那么取了这k个杯子获得的水量就是：
min(AS, BS + (B - BS) / 2)。
dp[i][k][j] 表示我们选择到第 i 个杯子时，一共取了 k 个杯子，此时取到杯子的总容量为 j 时所获得的水量是多少，
那么 dp[i][k][j] = max(dp[i - 1][k][j], dp[i - 1][k - 1][j - a[i]] + b[i])，即不取第 i 个杯子或者取第 i 个
杯子。
最后 ans = min(AS, max(dp[n][k][0~A]))
注意开始时只有dp[0][0][0]才是有意义的，其他的无意义的辅助数组都置为 -1 表示不可能事件。
*/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const double MIN_NUM = -1e9 - 7;
int n, a[101], b[101], A, B, dp[101][101][10001], ans[101];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i] >> b[i];
        A += a[i];
        B += b[i];
    }
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    dp[0][0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int k = 0; k <= i; ++k) {
            for (int j = 0; j <= A; ++j) {
                if ((k > 0) && (j >= a[i]) && (dp[i - 1][k - 1][j - a[i]] != -1))
                    dp[i][k][j] = max(dp[i - 1][k][j], dp[i - 1][k - 1][j - a[i]] + b[i]);
                else dp[i][k][j] = dp[i - 1][k][j];
            }
        }
    }
    for (int k = 1; k <= n; ++k) {
        double ans = 0;
        for (int j = 1; j <= A; ++j) {
            if (dp[n][k][j] == -1) continue;
            ans = max(min((double)j, (double)dp[n][k][j] / 2.0 + (double)B / 2.0), ans);
        }
        cout << fixed << setprecision(9) << ans << endl;
    }
    return 0;
}