拓展欧几里得算法

欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。 证明略去了。

基本代码实现：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展。

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。

• 47=30*1+17
• 30=17*1+13
• 17=13*1+4
• 13=4*3+1

然后把它们改写成“余数等于”的形式

• 17=47*1+30*(-1) //式1
• 13=30*1+17*(-1) //式2
• 4=17*1+13*(-1) //式3
• 1=13*1+4*(-3)

然后把它们“倒回去”

• 1=13*1+4*(-3) //应用式3
• 1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
• 1=13*4+17*(-3) //应用式2
• 1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
• 1=30*4+17*(-7) //应用式1
• 1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
• 1=30*11+47*(-7)

得解x=-7, y=11。

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　推理1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；//推理1

　　推理2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;//推理2

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德的递归代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int & x,int & y){
    if(b == 0){
        //根据上面的推理1，基本情况
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a%b, x, y);
    //根据推理2
    int t = y;
    y = x - (a/b)*y;
    x = t;
    return r;
}

int main() {
    int x,y;
    exgcd(47,30,x,y);
    cout << "47x+30y=1 的一个整数解为: x=" << x << ", y=" << y << endl;
    return 0;
}

扩展欧几里德算法的应用

（1）求解不定方程

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

这个应该比较好理解了，两个可以同乘以k

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%d)
        return false;
    int k=c/d;
    x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
    return true;
}

（2）求解模线性方程（线性同余方程）

同余方程 ax≡b (mod n) (也就是 ax % n = b) 对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b (也就是 b % (gcd(a,n))==0 )。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

在方程  3x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(3,6) = 3 ，3 不整除 2，因此方程无解。

在方程 5x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(5,6) = 1，1 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。

证明略去，直接说算法：

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14…….

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d. (d = gcd(a,n) )

因此解之间的间隔就求出来了.

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
    int x,y,x0,i;
    int d=exgcd(a,n,x,y);
    if(b%d)
        return false;
    x0=x*(b/d)%n;   //特解
    for(i=1;i<d;i++)
        printf("%d
",(x0+i*(n/d))%n);
    return true;
}

（3）求解模的逆元；

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

练习题

青蛙的约会

      思路：两只青蛙跳一次所花费的时间相同，我们设其为t，则x+mt是青蛙A从坐标原点到终点所走的距离，y+nt是B走的距离，要想碰面，则他们相减一定是地面周长的整数倍，设为k*L；则：(x+mt)-(y+nt)=kl;变形得：(m-n)t-(y-x)=kL;即有(m-n)t mod L=y-x;为线性同余方程。此方程有解当且仅当y-x能被m-n和L的最大公约数(记为gcd(m-n,L)),即gcd(m-n,L)|y-x。这时，如果x0是方程的一个解，即当t=x0时，(m-n)t mod L=y-x成立，那么所有的解可以表示为：
{x0+k(L/gcd(m-n,L))|(k∈整数)}。

欧几里得算法的拓展应用中有如下三条定理：

   定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。

   定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

   定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

      证明：上述同余方程等价于ax + by = c，如果有解，两边同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，显然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

      如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么令r = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非负整数解x了！（X % r可能是负值，此时保持在[-(r-1), 0]内，正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2r - 1]内，所以再模一下r就在[0, r-1]内了）。

代码如下：

#include<stdio.h>
__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y)//欧几里得算法的扩展
{
    __int64 r,t;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    r=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y; 
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    __int64 x,y,m,n,l,xx,yy,d,r;
    scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l);
    d=exgcd(n-m,l,xx,yy);
    if((x-y)%d!=0) printf("Impossible
");
    else {
            xx=xx*((x-y)/d);
            r=l/d;
            xx=(xx%r+r)%r;//求出最小非负整数解
            printf("%I64d
",xx);
        }
    return 0;
}