动态规划 最大连续子段和

子段与子段和的概念:

　　给定一个由数字组成的序列，其中一段连续的序列称为一个子段（假设非空），子段中所有的数字和就是为 子段和

例子：

　　　{1,2,3,4} ,

　　　连续子段有 {1} {1,2} {1,2,3} {1,2,3,4} {2,3} {2,3,4} {3,4} {4}

O(n²) 枚举的做法：

    for(int i=0;i<n;++i){
        long sum = 0;
        for(int j=i;j<n;++j){
            sum += a[j];
            if(sum > nMax){
                nMax = sum;
            }
        }
    }

通过观察发现。

(1) 整个序列都是负数，那么 最大子段和 为 最小的负数 。

(2) 如果都是正数，那么 最大子段和 就是 整个序列的的和。

(3) 如果有正有负，那么 最大的子段和 >= 整个序列的最大值，

　　　　　　　　  那么我们可以假设一个变量sum = 0; 来记录当前的子段和。

　　　　　　　　  ans 记为 整个序列的最大值

　　　　　　　　  因为要得到最大的子段 假设{ n1,n2,n3 }，那么这个子段前缀 {n1,n2} 一定不会 < 0

　　　　　　　　  要得到 更大的子段和，我们就不会用 < 0 的子段和 来 拖累 后面的子段和。

　　　　　　　　  用 ans = max(ans , sum)。来求出结果

O(n) 动态规划实现代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int inf = 0x7fffffff;
int num[101];
int main() {
    int N;
    cin >> N;
    for(int i=0;i<N;i++){
        cin >> num[i];
    }
    int ans = -inf;
    for(int i=0;i<N;i++){
        ans = max(ans,num[i]);
    }
    if(ans <= 0){
        cout << ans << endl;
    }else{
        int sum =0;
        for(int i=0;i<N;i++){
            if(sum + num[i] < 0){
                sum = 0;
            }else{
                sum += num[i];
            }
            ans = max(ans,sum);
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

题目：

　　HDU1087

题解：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[1001];
int dp    [1001]; 
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int main(){
    int n;
    while(cin >> n&& n){
        for(int i=0;i<n;++i){
            cin >> a[i];
        }
        for(int i=0;i<n;++i){
            dp[i] = a[i];
            for(int j=0;j<i;++j){
                if(a[i] > a[j]){
                    dp[i] = max(dp[j] + a[i],dp[i]);
                }
            }
        }
        int maxN = a[0];
        for(int i=0;i<n;++i){
            maxN = max(maxN,dp[i]);
        }
        cout << maxN << endl;
    }

    return 0;
}