P1714 切蛋糕 单调队列优化DP

题目描述

在幻想乡，琪露诺是以笨蛋闻名的冰之妖精。

某一天，琪露诺又在玩速冻青蛙，就是用冰把青蛙瞬间冻起来。但是这只青蛙比以往的要聪明许多，在琪露诺来之前就已经跑到了河的对岸。于是琪露诺决定到河岸去追青蛙。

小河可以看作一列格子依次编号为0到N，琪露诺只能从编号小的格子移动到编号大的格子。而且琪露诺按照一种特殊的方式进行移动，当她在格子i时，她只移动到区间[i+l,i+r]中的任意一格。你问为什么她这么移动，这还不简单，因为她是笨蛋啊。

每一个格子都有一个冰冻指数A[i]，编号为0的格子冰冻指数为0。当琪露诺停留在那一格时就可以得到那一格的冰冻指数A[i]。琪露诺希望能够在到达对岸时，获取最大的冰冻指数，这样她才能狠狠地教训那只青蛙。

但是由于她实在是太笨了，所以她决定拜托你帮它决定怎样前进。

开始时，琪露诺在编号0的格子上，只要她下一步的位置编号大于N就算到达对岸。

输入输出格式

输入格式：

第1行：3个正整数N, L, R

第2行：N+1个整数，第i个数表示编号为i-1的格子的冰冻指数A[i-1]

输出格式：

一个整数，表示最大冰冻指数。保证不超过2^31-1

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 2 3
0 12 3 11 7 -2

输出样例#1： 复制

11

说明

对于60%的数据：N <= 10,000

对于100%的数据：N <= 200,000

对于所有数据 -1,000 <= A[i] <= 1,000且1 <= L <= R <= N

超时DP代码:

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <queue>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int MAXN = 2e5 + 10;
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
    ll a[MAXN];
    ll dp[MAXN];
    int main(){
        ll N,L,R;
        scanf("%lld%lld%lld",&N,&L,&R);
        ll minL = min(L,R);
        for(ll i=0;i<=N;++i){
            scanf("%lld",&a[i]);
        }
        for(ll i=N;i>=minL;--i)
            dp[i] = a[i];
        for(ll i=N-minL;i>=0;--i){
            ll t = -INF;
            for(ll j=L;j<=R;++j){
                ll t2 = (i+j<=N?dp[i+j]:0);
                t = max(t2,t);
            }
            dp[i] = t + a[i];
        }
        printf("%lld
",dp[0]);
        return 0;
    }

 

单调队列优化代码：

//单调队列优化DP,把原本每次循环求最大值的O(R-L)压缩成O(1)
//总时间为O(n)*O((R-L)*N) 变为 O(n)
    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <queue>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int MAXN = 2e5 + 10;
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
    ll a[MAXN];
    ll dp[MAXN];
    struct node{
        ll t;
        ll v;
    };
    deque<node> q;
    node tmp;
    int main(){
        ll N,L,R;
        scanf("%lld%lld%lld",&N,&L,&R);
        ll minL = min(L,R);
        ll qs = R-L+1;
        for(ll i=0;i<=N;++i){
            scanf("%lld",&a[i]);
        }
        for(ll i=N;i>=minL;--i)
            dp[i] = a[i];
        //0入队
        tmp.t = N+1;
        tmp.v = 0;
        q.push_back(tmp);
        for(ll i=N-minL,j=N;i>=0;--i,--j){
            while(q.size() && q.back().v <= dp[j])
                q.pop_back();
            tmp.t = j;tmp.v = dp[j];
            q.push_back(tmp);
            if(q.front().t - j >= qs)
                q.pop_front();
            dp[i] = q.front().v + a[i];
        }
        printf("%lld
",dp[0]);
        return 0;
    }