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  • 序偶

    什么叫序偶

    "序偶" 英文对照
    ordered pair; ordered couples;

    "序偶" 在工具书中的解释
    由某个集合中元素x与y,以确定的顺序所组成的一对:第一个是x,第二个是y,称为序偶,记为(x,y)。
    由有顺序的两个数所组成的一对,称为数偶,它是序偶的特例。平面上点的坐标,就是实数集的一个序偶,
    (3,5)与(5,3)表示不同的点。哈密顿*用序偶来表示复数*,这种用序偶来定义一类数的思想,已成为公理化

    常用的数偶只是序偶的一种特例;

    1 序偶:两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。
    在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而A这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上、下;左、右;3<4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。 记作<x,y>。上述各例可分别表示为<上、下>;<左、右>;<3,4>;<张华、李明>;<中国,亚洲>;<a,b>等。
    序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶<a,b>≠<b,a>。
    2 序偶的相等
    定义3-4.1 两个序偶相等,<x,y>=<u,v>,iff x=u, y=v。
    应该指出,序偶<a,b>中两个元素不一定来自同一个集合,它们可以代表不同类型的事物。例如,a代表操作码,b代表地址码,则序偶<a,b>就代表一条单地址指令;当然亦可将a代表地址码,b代表操作码,<a,b>仍代表一条单地址指令;但上述这种约定,一经确定,序偶的次序就不能再予以变化了。在序偶<a,b>中,a称第一元素,b称第二元素。
    3 序偶的推广
    序偶的概念可以推广到三元组的情况。
    三元组是一个序偶,其第一元素本身也是一个序偶,可形式化表示为<<x,y>,z>。 由序偶相等的定义,可以知道<<x,y>,z>=<<u,v。>,w>,iff<x,y>=<u,v>,z=w,即x=u,y=v,z=w。今后约定三元组可记作<x,y,z>。应该注意的是:当x≠y时,<x,y,z>≠<y,x,z>。因为<x,<y,z>>不是三元组。同理四元组被定义为一个序偶,其第一元素为三元组,故四元组有形式为<<x,y,z>,w>且
    <<x,y,z>,w>=<<p,q,r>,s>(x=p)∧(y=q)∧(z=r)∧(w=s)
    这样,n元组可写为<<x1,x2,…,xn-1>,xn>且
    <<x1,x2,…,xn-1>,xn>=<<y1,y2,…,yn-1>,yn>
    (x1=y1)∧(x2=y2)∧…∧(xn-1=yn-1)∧(xn=yn)
    一般地,n元组可简写为<x1,x2,…,xn>,第i个元素xi称作n元组的第i个坐标。
    4 笛卡尔积
    序偶<x,y>其元素可以分别属于不同的集合,因此任给两个集合A和B,我们可以定义一种序偶的集合。
    定义3-4.2 令A和B是任意两个集合,若序偶的第一个成员是A的元素,第二个成员是B的元素,所有这样的序偶集合,称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积。记作A×B。
    A×B={<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}
    例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,B×A,A×A,B×B,以及(A×B)∩(B×A)。
    解 A×B={<α,1>,<α,2>,<α,3>,<β,1>,<β,2>,<β,3>}
    B×A={<1,α>,< 1,β>,<2,α>,< 2,β>,<3,α}, <3,β>}
    A×A={<α,α>,<α,β>,<β,α>,<β,β>}
    B×B={<1,1>,<1,2},<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}
    (A×B)∩(B×A) =
    由例题1可以看出A×B≠B×A。
    我们约定若A= 或B=,则A×B=
    由笛卡尔积定义可知:
    (A×B)×C ={<<a,b>,c>|(<a,b>∈A×B)∧(c∈C)}
    ={<a,b,c>|(a∈A)∧(<b∈B)∧(c∈C)}
    A×(B×C) ={<a,<b,c>>|(a∈A)∧(<b,c>∈B×C)}
    由于<a,<b,c>>不是三C元组,所以
    (A×B)×C≠A×(B×C)
    5 笛卡尔积的性质
    定理3-4.1 设A,B,C为任意三个集合,则有
    a)A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)
    b)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
    c)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)
    d)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)
    证明 a)设<x,y>∈A×(B∪C),则x∈A,y∈(B∪C),即x∈A且(y∈B或y∈C)。
    故 (x∈A,y∈B) 或 (a∈A,y∈C)
    得到 <x,y>∈A×B
    或 <x,y>∈A×C,<x,y>∈[(A×B)∪(A×C)]
    所以 A×(B∪C)C(A×B)∪(A×C)
    又设 <x,y>∈[(A×B)∪(A×C)]
    则 <x,y>∈A×B
    或 <x,y>∈A×C, 即x∈A,y∈B或x∈A,y∈C, 即x∈A且(y∈B或y∈C)。
    故 x∈A且y∈(B∪C)
    得到 <x,y>∈A×(B∪C)
    所以 (A×B)∪(A×C)CA×(B∪C)
    因此 A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)
    c)若<x,y>∈(A∪B)×C (x∈(A∪B)∧y∈C)
    (x∈A∨x∈B)∧(y∈C)
    (x∈A∧y∈C)∨(x∈B∧y∈C)
    (<x,y>∈A×C)∨(<x,y>∈B×C)
    <x,y>∈((A×C)∪(B×C))
    因此 (A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)
    定理3-4.2 若C≠,则
    AB(A×CB×C)(C×AC×B)
    证明 若y∈A,假定AB,有
    <x,y>∈A×C(x∈A∧y∈C)(x∈B∧y∈C)<x,y>∈B×C
    因此 A×CB×C
    反之,若C≠,A×CB×C,取y∈C,则有
    x∈A (x∈A)∧(y∈C)
    (<x,y>∈A×C)
    (<x,y>∈B×C)
    (x∈B)∧(y∈C)
    x∈B
    因此 AB
    同样,定理的第二部分AB (C×AC×B)可以类似地证明。
    定理3-4.3 设A、B、C、D为四个非空集合,则
    A×BC×D的充要条件为AC,BD。
    证明 若A×BC×D,对任意x∈A和y∈B有
    (x∈A)∧(y∈B) (<x,y>∈A×B)
    (<x,y>∈C×D)
    (x∈C)∧(y∈D)
    即 AC且BD。
    反之,若AC且BD,设任意x∈A和y∈B,我们有
    < x,y >∈A×B (x∈A∧y∈B)
    (x∈C∧y∈D)
    (<x,y >∈C×D)
    因此 A×BC×D
    6 n个集合的笛卡尔积
    因为两集合的笛卡尔积仍是一个集合,故对于有限集合可以进行多次的笛卡尔积运算。
    为了与n元组一致,我们约定:
    A1×A2×A3=(A1×A2)×A3
    A1×A2×A3×A4=(A1×A2×A3)×A4
    =((A1×A2)×A3)×A4
    一般地,A1×A2×…×An=(A1×A2×…×An-1)×An
    ={<x1,x2,…,xn>|(x1>∈A1)∧(x2∈A2)∧…∧(xn ∈An)}
    故A1×A2×…×An是有关n元组构成的集合。特别地,A×A可以写成,同样地A×A×A
    =,…,
    *重点:序偶表示两个有顺序的对象;笛卡尔积中也有顺序的概念。

    转自 http://blog.sina.com.cn/s/blog_65311d330100izs2.html

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    sdoi 2009 & 状态压缩
    来自于2016.2.24的flag
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/-404/p/4470311.html
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