二分图的定义及判断

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A, j in B)，则称图G为一个二分图。

二分图的另一种等价的说法是，可以把每个节点着以黑色和白色之一，使得每条边的两个端点颜色不同.不难发现，非连通的图是二分图当且仅当每个连通分量都是二分图，因此我们只考虑无向连通图。

     

上图就是一个二分图

上图不是个二分图

那么我们如何去判断一个图是否是二分图呢？

这里我们采取的是二分图染色法：用两种颜色，对所有顶点逐个染色，且相邻顶点染不同的颜色，如果发现相邻顶点染了同一种颜色，就认为此图不为二分图。 当所有顶点都被染色，且没有发现同色的相邻顶点，就退出

第一种写法：DFS

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>

#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MAXN 1000010
using namespace std;

vector<int> graph[MAXN];
int color[MAXN];
int vis[MAXN];

bool DFS(int u)
{
    vis[u] = 1;
    int len = graph[u].size();
    for (int j=0;j<len;j++)
    {
        int v = graph[u][j];
        if (vis[v] == 0)  //如果没有染色
        {
            color[v] = color[u]^1;
            if (!DFS(v))
                return false;
        }
        else if (color[u]==color[v]) //如果已经染色，但是相连的两点颜色相同
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(graph,0, sizeof(graph));
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            graph[a].push_back(b);
            graph[b].push_back(a);
        }
        memset(color,0, sizeof(color));
        memset(vis,0, sizeof(vis));
        int flag = true;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            if (vis[i] == 0)
            {
                if (!DFS(i))
                {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
        }
        if (flag)
            printf("Yes
"); // 是二分图
        else
            printf("No
");
    }
}

第二种方法：BFS

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>

#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MAXN 100
using namespace std;

vector<int> graph[MAXN];
int color[MAXN];


bool BFS(int u)
{
    queue<int> que;
    que.push(u);
    color[u] = 1;
    while (!que.empty())
    {
        int x = que.front();
        que.pop();
        for (int i=0;i<graph[x].size();i++)
        {
            int y = graph[x][i];
            if (color[y] == 0)
            {
                color[y] = color[x]^1;
                que.push(y);
            }
            else
            {
                if (color[x] == color[y])
                    return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        graph[x].push_back(y);
        graph[y].push_back(x);
    }
    memset(color,0, sizeof(color));
    //cout << BFS(1) << endl;
    if (BFS(1))
        cout << "YES" << endl;
    else
        cout << "NO" << endl;
    return 0;
}