Bone Collector II （01背包的第K优解）

对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。

其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。

 

首先看01背包求最优解的状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解，那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为v时，第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句，熟悉C语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。

然后原方程就可以解释为：f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]][1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果（的前K项）储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(NVK)。

 

另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#include <queue>
#include <math.h>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <time.h>

#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ls nod<<1
#define rs (nod<<1)+1

using namespace std;

const int maxn = 1e4 + 10;

int dp[1010][35];
int a[1010],b[1010];
int w[110],v[110];

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        memset(dp,0, sizeof(dp));
        memset(a,0, sizeof(a));
        memset(b,0, sizeof(b));
        int n,m,k;
        cin >> n >> m >> k;
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            cin >> w[i];
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            cin >> v[i];
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = m;j >= v[i];j--) {
                for (int l = 1;l <= k;l++) {
                    a[l] = dp[j][l];
                    b[l] = dp[j-v[i]][l] + w[i];
                }
                a[k+1] = -1;
                b[k+1] = -1;
                int x = 1,y = 1,o = 1;
                while (o != k+1 && (a[x] != -1 || b[y] != -1)) {
                    if (a[x] > b[y]) {
                        dp[j][o] = a[x];
                        x++;
                    }
                    else {
                        dp[j][o] = b[y];
                        y++;
                    }
                    if (dp[j][o] != dp[j][o-1])
                        o++;
                }
            }
        }
        printf("%d
",dp[m][k]);
    }
    return 0;
}