三点共圆公式

我们设一个圆的圆心坐标为 ，半径为 r 。那么这个圆的方程可以写为：

在这个圆上随便取三个点，设这三个点的坐标分别是 那么有：

公式（1）（2）相减，（1）（3）相减之后经过化简可以得到：

有唯一解的条件是系数行列式不为 0 ：

简单变变型也就是：

这样写几何含义就很明显了，三点不能共线。

设:

那么 :

有了 x 0 和 y 0 的值后，带入(1) 式就可以得到 r 的值。至此，三点确定圆的问题就解决了。

三点共圆求圆心的模版：

double X, Y;
struct Point
{
    double x, y;
} a[2005];
void solve(Point a, Point b, Point c) //三点共圆圆心公式
{
    double fm1=2 * (a.y - c.y) * (a.x - b.x) - 2 * (a.y - b.y) * (a.x - c.x); // 2 (da - bc)
    double fm2=2 * (a.y - b.y) * (a.x - c.x) - 2 * (a.y - c.y) * (a.x - b.x);  // 2 (bc - ad)

    if (fm1 == 0 || fm2 == 0)
    {
        X = Y = 1e18;
        return;
    }
    double fz1=a.x * a.x - b.x * b.x + a.y * a.y - b.y * b.y;   // e
    double fz2=a.x * a.x - c.x * c.x + a.y * a.y - c.y * c.y;   // f
    X = (fz1 * (a.y - c.y) - fz2 * (a.y - b.y)) / fm1; // x0
    Y = (fz1 * (a.x - c.x) - fz2 * (a.x - b.x)) / fm2; // y0
}

例题：Boundary

题意：
给了n个点，让你自己随便定义圆心(圆心不要求是n个点的其中一个)和半径，要求这n个点有尽可能多的点在圆上，并且该圆经过坐标原点(0,0)。求满足的圆上的点最多有多少个。

想法：

由于必须经过原点，所以我们可以只枚举两个点从而就可以达到枚举圆心的目的。【因为三点共圆】

用vector保存下来这些圆心坐标。

处理完后，对圆心坐标sort一下，判断有多少个圆心坐标是一样的。

再要寻找有几个点在圆上，我们可以枚举圆上的点。

满足 x * (x - 1 ) / 2 == ans 

这个时候的 x 就是我们所求的

#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <ctime>
#include <bitset>
#include <cmath>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <unordered_map>

#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ls nod<<1
#define rs (nod<<1)+1
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define INF 0x3f3f3f3f
#define max(a, b) (a>b?a:b)
#define min(a, b) (a<b?a:b)


const double eps = 1e-8;
const int maxn = 2e5 + 10;
const ll MOD = 99999999999999;
const int mlog=20;

int sgn(double a) { return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1; }

using namespace std;

double X, Y;
struct Point
{
    double x, y;
} a[2005];
void solve(Point a, Point b, Point c) //三点共圆圆心公式
{
    double fm1=2 * (a.y - c.y) * (a.x - b.x) - 2 * (a.y - b.y) * (a.x - c.x); // 2 (da - bc)
    double fm2=2 * (a.y - b.y) * (a.x - c.x) - 2 * (a.y - c.y) * (a.x - b.x);  // 2 (bc - ad)

    if (fm1 == 0 || fm2 == 0)
    {
        X = Y = 1e18;
        return;
    }
    double fz1=a.x * a.x - b.x * b.x + a.y * a.y - b.y * b.y;   // e
    double fz2=a.x * a.x - c.x * c.x + a.y * a.y - c.y * c.y;   // f
    X = (fz1 * (a.y - c.y) - fz2 * (a.y - b.y)) / fm1; // x0
    Y = (fz1 * (a.x - c.x) - fz2 * (a.x - b.x)) / fm2; // y0
}
vector<pair<double,double>> mpp;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);

    for (int i = 1; i <= n; i++){
        for (int j = i + 1; j <= n; j++){
            solve({0, 0}, a[i], a[j]);
            if (X == Y && sgn(X-1e18) == 0)
                continue;
            mpp.push_back({X,Y});
        }
    }
    if(mpp.size()==0){
        putchar('1');
        return 0;
    }
    sort(mpp.begin(),mpp.end());
    int ma = 1;
    int num = 1;
    pair<double,double> now=mpp[0];
    for(int i=1;i<mpp.size();i++){
        if(mpp[i]==now) ++num;
        else{
            now=mpp[i];
            ma=max(ma,num);
            num=1;
        }
        ma=max(ma,num);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        if (i * (i - 1) == ma * 2){
            printf("%d
", i);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}