清北学堂-day2

首先

我声明一下

上一篇博客我写错了

我懒得删了，你就不要再看那一篇了

1°：

逆元

gcd(a,m)=1

a*b=1(mod m)

b=a^(-1) (mod m)

a^(p-1)=1 (mod p)

a与a^(p-2) mod p 下互为逆元

a与a^(φ(m)-1)   mod m   互为逆元

2°

线性求逆元

int[i] mod p;

p = k * i + r;

0 = k * i + r ( mod p )

* i ^ ( - 1 )      * r ^ ( - 1 )

0 = k * r ^ ( - 1) + i ^ ( - 1 )  ( mod p )

i ^ ( - 1 ) = - k * r ^ ( - 1 ) 

i ^ ( - 1 ) = -[ p / i ] * inv [ r ]

3°

 Exgcd

给定 a , b 

知道 gcd ( a , b ) = g

求  x , y

使 : x * a + y * b = g

void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    long long f=x;
    x=y;
    y=f-y*(a/b);
}

算了，推导过程不便表述

4°

中国剩余定理

正统做法：

int intchina(int r)
{
int Mi,x,y,d,ans=0;M=1;
for(int i=1;i<=r;i++) M*=m[i];
for(int i=1;i<=r;i++){
    M[i]=M/m[i];
    exgcd(Mi,m[i],d,x,y);
    ans=(ans+Mi*x*a[i])%M; 
}
return (ans+M)%M;
}

x = b_1  ( mod  m_1)

x = b_2  ( mod m_2 )

x = k_1 * m_1 + b_1 = k_2 * m_2 + b_2

k_1 * m_1  - k_2 *m_2 = b_2 - b_1

若 gcd ( m_1 , m_2 ) | b_2 - b_1 则有解

大数翻倍法 :

{

x % m_1 = b_1

x % m_2 = b_2

}

设m_1>m_2

b_1　　b_1 + m_1　　b_1 + 2 * m_1　　b_1 + 3 * m_1　　...........　　

c_1　　c_2　　　　　　c_3　　.........c_n

 if 　　c_1 % m_2 = b_2　->   x % lcm ( m_1 , m_2 ) = b + k * m_1

O( min ( m_1 , m_2 ) )  n越小速度越慢

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
inline long long py(long long a,long long b)
{
    return a*b/__gcd(a,b);
}

int main()
{
    long long n,a[13],b[13],c,ans;
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cout.tie(NULL);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i]>>b[i];
    }
    c=a[1];
    ans=b[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        while(ans%a[i]!=b[i]) ans+=c;
        c=py(c,a[i]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

5°

积性函数:
若 gcd ( a ,b ) = 1 且f ( a , b )=f (a ) * f ( b ) 　　则为积性函数

若取消该互素条件，则为完全积性函数

6°

狄利克雷卷积:

定义:

( f * g ) ( n ) = Σ f ( d ) * g ( n / d )  　　d | n

f * g =g * f

( f * g) * h = f * ( h * g )

( f + g ) * h = f * h +g * h 

I ( n ) = 1

mu * I = epsilon ( epsilon ( n ) = [ n == 1 ])

phi * I = id ( id( n ) == n)

mu * id = phi

7°

莫比乌斯反演：
若

g ( n ) = Σ  f ( d )

则

f ( n ) = Σ mu ( d ) * g ( n / d )

1：增加求和号

2：交换求和顺序

3：反演