图论——最小生成树

最小生成树算法

是图论的一种算法

用N个点用N-1条边连成一棵树

所以在图中选N个点与N-1条边

使在所有方案中和最小

1°：

Prim算法

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new= {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new= {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new= V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

 

这个算法你就当个笑话看看吧，反正也不常用

 

2°

Kruskal算法

　　假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

 

然后上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

int f[300000];

struct point{
    int x;
    int y;
    int z;
}edge[300000];

bool cmp(point a,point b)
{
    return a.z<b.z;
} 

inline int Find(int a)
{
    if(f[a]!=a) f[a]=Find(f[a]);
    return f[a];
}

inline void join(int a,int b)
{
    int fa=Find(a);
    int fb=Find(b);
    if(fa!=fb) f[fa]=fb;
}

int main(void)
{
    
    int n,m;
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(register int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z);
    
     sort(edge+1,edge+1+m,cmp);
    
     for(register int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=i;
    
    int tot=0;
    
    int k=0;

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    
        if(Find(edge[i].x) != Find(edge[i].y))
        {
            join(edge[i].x,edge[i].y);
            tot+=edge[i].z;
            k++;
        }
        if(k==n-1) break;

    }
    
    printf("%d",tot);
}

克鲁斯卡尔算法使用的了

并查集思想

快速排序

优先连权值更大的边

复杂度为 O(mlogm)

而普利姆算法则采用dp思想，复杂度为 O(N^2)，优化后达到 O(mlogn)

综合比对来看

1°Prim在稠密图中比Kruskal优，稀疏图劣

2°Prim在任何情况下均有令人满意的时间复杂度，代价就是空间复杂度极高，并且代码极其恶心

但是时间复杂度不能说明一个算法的优劣性质

所以考试，你想用啥就用啥。