Z 函数学习笔记

声明，我不会 (kmp) 算法。。。

于是我直接硬莽一波 (Z) 函数

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（默认字符串下标从 (1) 开始

设 (z[i]) 函数为 (s[l,r]) 与 (s) 的 (lcp)。

这里补充一下字符串的关键思想：一切复杂度高的操作都尽量使用之前处理过的转移函数，这样大部分情况复杂度会被均摊。

我们当前处理 (z[r])，我们仿照 (manacher) 的思想，随时维护一个 (l) 与 (r)。在 ([l,r]) 这个区间内，我们可以依赖之前的 (z[i-l+1]) 来尽量减少我们扩展当前 (z[i]) 所需的复杂度。

所以，对于一个 (i) 来说

若 (i leq r)，则有（注意等于的时候也要暴力扩展

进一步分类讨论

若 (z[i-l+1]<r-l+1)，则 (z[i]=z[i-l+1])

否则，我们令 (z[i]) 从 (z[i-l+1]) 处开始暴力扩展

若 (r < i)，那么我们暴力扩展 (i) 的 (z) 函数

这样我们就得到了一个 (z) 函数的 (O(n))

复杂度分析

可以发现每次暴力扩展，(r) 都会随着暴力扩展改变，而 (r) 最多只能扩展到 (n)，所以在均摊意义下，该算法达到 (O(n))。

P5410 【模板】扩展 KMP（Z 函数）

第一个操作是 (Z) 函数基本操作，直接上板子。。

对于第二个操作，把两个串拼起来，中间用特殊字符相接即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define ri register int
#define pb push_back
#define db double
#define pii pair<int,int>
#define ill long long
#define fi first
#define sc second

template<typename _T>
inline void read(_T &x)
{
	x=0;char s=getchar();int f=1;
	while(s<'0'||s>'9') {f=1;if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}

const int np = 2e7 + 5;

char a[np];
char b[np * 2];
int z[np * 2];
int cas = 0;

inline void getz(char *c,int len)
{
	int r(0),l(0);
	int head(1);
	z[1] = cas;
	for(int i=2;i<=len;i++)
	{
		if(i < r)
		{
			if(z[i - l + 1] >= (r-i+1))
			{
				int pl = r;
				int head = r-i+1;
				while(c[head + 1] == c[pl + 1] && pl + 1 <= len) pl++,head++;
				z[i] = pl-i+1;
				l = i , r = i + z[i] - 1;
			}
			else z[i] = z[i - l + 1];
		}
		else
		{
			int pl = i-1;
			head = 0;
			while(c[head + 1] == c[pl + 1] && pl+1 <= len){pl++,head++;} 
			z[i] = head;
			if(pl > r) r = pl , l = i;
		}
	}
	int Ans =0 ;
	int flag(0);
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		if(c[i] == '$')
		{
			cout<<Ans<<'
';
			flag =i;
			break;
		}
		Ans ^= i * (z[i] + 1);
	}
	Ans = 0;
	for(int i=flag + 1;i<=len;i++)
	{
		Ans ^= (i - flag) * (z[i] + 1);
	}
	cout<<Ans;
}

signed main()
{
	scanf("%s",a + 1);
	scanf("%s",b + 1);
	int lena = strlen(a + 1);
	int lenb = strlen(b + 1);
	b[lenb + 1] = '$';
	cas = lenb;
	for(int i=1;i<=lena;i++) b[lenb + 1 + i] = a[i];
	int len = strlen(b + 1);
	getz(b,len);
}

CF432D Prefixes and Suffixes

求一遍 (Z) 函数，同时做出该串的 (SAM)，提前预处理出所有子串的出现次数。

扫一遍字符串，一边扫一边在 (SAM) 上走，随时记录是否满足答案和该点出现次数

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define ri register int
#define pb push_back
#define db double
#define pii pair<int,int>
#define ill long long
#define fi first
#define sc second

template<typename _T>
inline void read(_T &x)
{
	x=0;char s=getchar();int f=1;
	while(s<'0'||s>'9') {f=1;if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}

const int np = 1e5 + 5;

char c[np * 2];
int len[np * 2],siz[np * 2],link[np * 2],cnt = 1,la = 1;
int son[29][np * 2],sa[np * 2],z[np * 2],bac[np * 2],Ans;
int a1[np * 2],a2[np * 2],top;

inline void add(int x)
{
	int p,q,now,k,ch=1;
	p = la,now = la = ++cnt,len[now] = len[p] + (siz[now] = 1);
	for(;p && !son[x][p];son[x][p] = now,p=link[p]);
	if(!p) return (void)(link[now] = 1);
	if(len[p] + 1==len[q = son[x][p]]) return (void)(link[now] = q);
	len[k = ++cnt] = len[p] + 1,link[k] = link[q] , link[q] = link[now] = k;
	for(;ch<=26;ch++) son[ch][k] = son[ch][q];
	for(;p && !(son[x][p]^q);son[x][p]=k,p=link[p]);
}

inline void getz(char *c,int len)
{
	int l(0),r(0),head(0),pl(0);
	z[1] = len;
	for(int i=2;i<=len;i++)
	{
		if(i < r)
		{
			if(z[i-l+1] >= (r-i+1))
			{
				pl = r;
				head = r-i+1;
				while(c[head+1]==c[pl + 1] && pl + 1<=len) pl++,head++;
				z[i] = head,r = pl,l=i;
			}
			else z[i] = z[i-l+1];
		}
		else 
		{
			head = 0;
			pl = i-1;
			while(c[head + 1]==c[pl + 1] && pl + 1<=len) pl++,head++;
			z[i] = head,r = pl,l = i;
		}
	}
}

inline void solve(int le)
{
	int Now = 1;
	int plen = 0;
	for(int i=le;i>=1 && c[i] != '$';i--)
	{
		plen++;
		Now = son[c[plen]-'A'+1][Now];
		if(z[i] == plen) a1[++top] = plen,a2[top] = siz[Now];
	}
	printf("%lld
",top);
	for(int i=1;i<=top;i++)
	{
		printf("%lld %lld
",a1[i],a2[i]);
	}
	
}

signed main()
{
	scanf("%s",c+1);
	
	int le = strlen(c + 1);
	
	for(int i=1;i<=le;i++) add(c[i]-'A'+1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++) bac[len[i]]++;
	for(int i=1;i<=cnt;i++) bac[i] += bac[i-1];
	for(int i=1;i<=cnt;i++) sa[bac[len[i]]--] = i;
	for(int i=cnt,x;i>=1;i--)
	{
		x = sa[i];
		siz[link[x]] += siz[x];
	}
	c[le + 1] = '$';
	for(int i=1;i<=le;i++) c[le + 1 + i] = c[i];
	le = strlen(c + 1);
	getz(c,le);
	solve(le);
}

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感觉这个算法的关键使用是如何用好后缀和整体的 (operatorname{lcp})。

其实这个算法本身并不是特别难，既没有 (SAM) 那种晦涩的思想，也没有 (SA) 频出的骚操作……

（好吧只是因为我太菜了就只配做做板子了

以后发现比较有趣的 (Z) 函数题再往上添吧