「UVA 11468」Substring

Description

给定 (n) 个字符 (c_1, c_2, cdots c_n) 和各自的选择概率 (p_1, p_2, cdots, p_n)，随机选择 (L) 次得到的随机字符串 (S) （每次独立随机）。给出 (K) 个模板串 (t_1, t_2, cdots, t_K)，计算 (S) 不包含任何一个模板串的概率。

多组数据，组数为 (T)。

Hint

• (1le T le 50)
• (1le Kle 20)
• (1le |t_i|le 20)
• (c_i in [ exttt{a}, exttt{z}] cup [ exttt{A}, exttt{Z}] cup [ exttt{0}, exttt{9}])
• (1le L le 100)
• (sum_{i = 1}^n p_i = 1)
• (forall i in [1, K], t_i) 由 (n) 个给定字符组成。

Solution

AC 自动机 + 动态规划

首先肯定是对所有 模板串 建 AC自动机，在模式串结尾标记一下表示不能走。然后按之类问题的套路来：

设 (f(i, x)) 为字符串长度为 (i)，走到结点 (x) 且不走到标记结点的概率。

那么自然是 (f(i - 1, x)) 转移到 (f(i, delta(x, c))) 的方向。状态转移方程：

[f(i, y) = sumlimits_{delta(x, c) = y} f(i - 1, x) imes ext{prob}(c) ]

其中 ( ext{prob}(c)) 表示选择字符 (c) 的概率。显然如果 (y) 点北标记为结尾就要跳过。

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像这种 dp 会有一个坑：当一个结点的 fail 对应的结点是被标记了的，那么这个结点也应该被标记。为什么呢？因为 fail 指向的是当前的最长后缀，而一个以一个模板串作为后缀的字符串自然也不合法。

Code

/*
 * Author : _Wallace_
 * Source : https://www.cnblogs.com/-Wallace-/
 * Problem : UVA 11468 Substring
 */
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;
const int P_L = 25;
const int M_L = 105;
const int K = 25;
const int S = 62;

int k, n, l;
double prob[S];

inline int trans(char c) {
	if (isdigit(c)) return c - '0';
	else if (islower(c)) return c - 'a' + 10;
	else return c - 'A' + 36;
}

namespace ACAM {
	const int T = K * P_L;
	struct Node {
		int ch[S];
		int fail;
		bool statu;
	} t[T];
	double f[M_L][T];
	int total;
	
	void restart() {
		using namespace ACAM;
		memset(f, 0, sizeof f);
		memset(t, 0, sizeof t);
		total = 0;
	}
	
	void insert(char* s) {
		int x = 0;
		for (register int i = 0; s[i]; i++) {
			int c = trans(s[i]);
			if (!t[x].ch[c]) t[x].ch[c] = ++total;
			x = t[x].ch[c];
		}
		t[x].statu = true;
	}
	
	void build_fail() {
		queue<int> Q;
		for (register int i = 0; i < S; i++)
			if (t[0].ch[i]) Q.push(t[0].ch[i]), t[t[0].ch[i]].fail = 0;
		while (!Q.empty()) {
			int x = Q.front(); Q.pop();
			for (register int c = 0; c < S; c++)
				if (t[x].ch[c]) {
					Q.push(t[x].ch[c]);
					t[t[x].ch[c]].fail = t[t[x].fail].ch[c];
				} else t[x].ch[c] = t[t[x].fail].ch[c];
			t[x].statu |= t[t[x].fail].statu; // 此坑的解决方案在此体现
		}
	}
	
	double solve(int l) {
		f[0][0] = 1.0;
		for (register int i = 1; i <= l; i++)
			for (register int x = 0; x <= total; x++)
				for (register int c = 0; c < S; c++)
					if (!t[t[x].ch[c]].statu)
						f[i][t[x].ch[c]] += f[i - 1][x] * prob[c];
		double ret = 0.0;
		for (register int i = 0; i <= total; i++)
			ret += f[l][i];
		return ret;
	}
};

char str[M_L];
signed main() {	
	int total_tc;
	scanf("%d", &total_tc);
	
	for (int tc = 1; tc <= total_tc; tc++) {
		ACAM::restart();
		memset(prob, 0, sizeof prob);
		
		scanf("%d", &k);
		for (register int i = 1; i <= k; i++) {
			scanf("%s", str);
			ACAM::insert(str);
		}
		
		scanf("%d", &n);
		for (register int i = 1; i <= n; i++) {
			char lt[5]; double pb;
			scanf("%s%lf", lt, &pb);
			prob[trans(lt[0])] += pb;
		}
		
		ACAM::build_fail();
		scanf("%d", &l);
		double ans = ACAM::solve(l);
		
		printf("Case #%d: %.6f
", tc, ans);
	}
	return 0;
}