Content
- 简述
- 概念
- 结构
- 构建
- 实现
- 正确性
- 后记
简述
回文树（EER Tree）是可以存储一个字符串的 所有回文字串 的一种实用数据结构。
回文自动机（PAM）是存储了这个字符串的所有回文串信息的自动机。
事实上这两个是一个东西，是一个高效处理回文相关问题的利器 。
概念
回文自动机是一类可以接受字符串的所有回文子串的自动机。
结构
1.结构特点
我们知道回文串大多分奇偶讨论
有一种被称为 manacher 的算法，被广泛用于解决回文问题。它是通过在字符间插入不属于字符集的分隔符（如 # 或 $ 等）处理的。
但 PAM 一般不这么干——我们一般 直接按奇偶分为两个部分。
那么就会有两个根节点：奇根和偶根。
OI-wiki 上的演示图片：
2. 状态
既然可以被称为“自动机”，那么一定有状态。
PAM 的一个状态表示 原串的一个回文字串。
状态中除了转移函数的值，还存储了最基础的两个字段：fail 和 len。分别表示 后缀链接，以及 当前状态的结点所代表的最长回文字串的长。
后缀链接具体见下文。
奇根和偶根并不代表任何串，仅作为初始状态存在。
特别的，我们令奇根的 ( ext{len} = -1)，偶根的 ( ext{len} = 0)。
所有的状态都代表一个本质不同的回文子串，PAM 中又存储了所有回文子串的信息，那么 PAM 的状态数减一（除去奇根）等于原串本质不同的回文子串个数。
3. 转移
PAM 的转移函数比较特殊。
如果结点 (x) 走了一条字符 (c) 的转移，那么表示在 (x) 的 当前回文子串前后各加一个字符 (c) 。
这个并不难理解——因为必须满足回文性质。
4. fail 指针
即后缀链接。
对于一个状态 (x)，其 ( ext{fail}) 指针所指的状态 (y)，代表的最长回文串满足，后者为前者的最长回文真后缀。
特别的，偶根的 $ ext{fail} = $ 奇根，至于奇根的 ( ext{fail}) 我们不需要管，因为长度为 1 的字串必定为回文串，不可能失配。
建出 PAM 后，fail 指针将结点连成了一颗树形结构—— fail 树。
构建
和 SAM 一样，我们用 增量法 构造 PAM，即在线算法。
我们假设对 (S) 构造 PAM，当前位置为 (p)。现在将 (S_p) 插入 PAM。
首先找到上一次插入 (S_{p - 1}) 的结点 (x)，判断是否满足 (S_{p} = S_{p - ext{len}(x) - 1})，即待添加的字符与当前回文子串 的前一个字符 是否相同。
若相同那么直接找转移边，否则就需要跳 fail 指针。一直跳，直至条件 (S_{p} = S_{p - ext{len}(x) - 1}) 被满足。（跳到最后可能会跳到根，但此时条件成了 (S_{p} = S_{p})，而这显然成立不可能继续回跳，因此不需要过于在意边界处理）
于是现在我们将 (x) 跳转到了正确的位置，可以进行插入了！
如果发现转移 (S_p) 字符的转移已存在，那么就基本完成了，反之则需新建结点（以下称 (y)）。
上文提到 PAM 的结点中至少维护两个字段——len 和 fail。
前者不难得到，回顾转移的定义，是在首位两端加入字符，于是有 ( ext{len}(y) = ext{len}(x) + 2)。
但如何求 ( ext{fail})？我们从 ( ext{fail}(x)) 开始跳 ( ext{fail}) 指针，从 (x) 代表的最长回文后缀起步，直至满足前后匹配然后取转移即可。顺带一提，这里的跳 ( ext{fail}) 与上面的其实非常相似。
如果没得匹配，和上面一样会得到 ( ext{fail}(y) = 0) 的结果，不过不会有任何不妥——空串为任何串的后缀。
以上，我们完成了一个字符的插入。
附上图示：
实现
1. 基础设置
struct Node { // 结点（状态）结构体
int ch[S], fail; // 转移，失配指针
int len; // 当前状态可以表示的最长回文子串的长
} t[N];
int total, last;
// 总点数，上一次更新的点的标号
void init() { // 初始化
t[0].fail = 1, t[1].fail = 0;
t[0].len = 0, t[1].len = -1;
total = 1, last = 0;
}
int create(int l) { // 创建 len = l 的新结点
int x = ++total;
t[x].len = l, t[x].fail = 0;
return x;
}
2. 跳转 fail 函数
// 跳转 fail : 从结点 x 起，跳转以配对 s[p]
int getFail(int x, int p) {
while (s[p] != s[p - t[x].len - 1])
x = t[x].fail; // 不匹配则一直跳
return x;
}
3. 构造算法主体 extend
// 增量构造 : 添加字符 s[p]（主串为 s[1, n]）
void extend(int p) {
int x = getFail(last, p); // 从上一次添加的位置起，跳 fail 到可添加的位置
if (t[x].ch[s[p] - 'a'] == 0) { // 跳完了，如果没有转移，那么新建
int y = create(t[x].len + 2); // 新建结点 y : 注意 len 是前面与后面各一个字符，因此 +2
t[y].fail = t[getFail(t[x].fail, p)].ch[s[p] - 'a']; // 得到 y 的 fail 指针，取转移
t[x].ch[s[p] - 'a'] = y; // y 为 x 的某一个转移的值，更新转移函数值
}
last = t[x].ch[s[p] - 'a']; // 更新 last
}
正确性
进行了我们将对 PAM 的构建算法进行正确性（复杂度）证明。
命题 1. 一个字符串 (S) 的本质不同的回文子串个数不超过 (|S|) 个。
证明： 数学归纳法。（部分参考自 OI-wiki）
- (|S| = 1) 时，显然。
- (|S| ge 2) 时，假设 (S) 尾部加上某一个字符 (c) 为 (T)，并且 (S) 满足此命题。
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- 我们设 (T) 的所有回文真后缀为 (T[l_1, |T|], T[l_2, |T|], cdots , T[l_k, |T|])，其中 (l_i < l_{i + 1})。因为 (T[l_1, |T|]) 是回文串，于是所有 (in [l_1, |T|]) 的位置 (p) 满足 (T[p, |T|] = T[l_1, l_1 + |T| - p])。
-
- 那么对于任意一个 (i in (1, k])，由于 (T[l_i, |T|]) 是 (T[l_1, |T|]) 的一个子串，于是 (T[l_i, |T|]) 的反串 一定在 (T[1, |T| - 1]) 中出现过。然而 (T[l_i, |T|]) 也是回文的，正串就是反串，所以得出结论：只有 (T[l_1, |T|]) 可能被作为新的本质不同的回文子串。
-
- 一个字符最多新增一个本质不同的回文子串，所以该命题得证。
命题 2. PAM 上的状态数为 (O(|S|))。
证明： 因为 PAM 上的状态数等于本质不同的回文子串个数，结合命题 1 即可得证。
或者说，由 PAM 构造算法，可得一次 extend 至多增加一个结点。那么 (|S|) 次添加显然有 (O(|S|)) 个结点。
命题 3. PAM 构造算法的时间复杂度为 (O(|S|))。
证明： 观察上述构造算法，发现仅有 getFail 函数的复杂度难以证明。跳 fail 指针，连 fail 可以视作在 fail 树上跳祖先，建边。
在 fail 树上，每次跳 fail 时深度 (-1)，每次建 fail 边时深度 (+1)。
而在建 fail 指针时，我们发现是从 ( ext{fail}(x)) 开始跳的，因此深度 (-1)，而最终深度只会 (+1)。于是整棵 fail 树深度 (le |S|)。
那么易知跳的次数不超过 (O(|S|))，于是构建算法的时间复杂度也为 (O(|S|))。
后记
- 原文地址：https://www.cnblogs.com/-Wallace-/p/13375265.html
- 本文作者：@-Wallace-
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