[拓展欧几里得exGcd]

题目描述

求关于$x$的同余方程$$ax=1(mod~~b)$$的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

一行，包含两个正整数$a$,$b$用一个空格隔开。

输出格式：

一个正整数$x$，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

---

裴蜀定理：关于$x$,$y$的方程$ax+by=c$有解当且仅当$gcd(a,b)|c$

令 $c = gcd(a,b)$

由 欧几里得算法 得

　　　　$$gcd(a,b) = gcd(b,a~mod~b)$$

　　所以原式可化为$$ax+by=gcd(a,b)$$

　　　　　　　　  $$ax + by = gcd(b,a~mod~b)$$

　　　　　　　　　$$bx_{0} + (a~mod~b)y_{0} = gcd(b,a~mod~b)$$

　　所以$$ax+by=bx_{0}+(a-lfloorfrac{a}{b} floor*b)~y_{0}=ay_{0}+b(x_{0}-lfloorfrac{a}{b} floor~y_{0})$$

所以 $$x=y_{0}~~y=x_{0}-lfloorfrac{a}{b} floor~y_{0}$$

考虑他的一组特解：

$$b=0时,x=1,y=0$$

求上述方程的所有解
假设求出的该方程的一组特解$x=x_{0},y=y_{0}$,则该方程的所有解为$$x=x_{0}+frac{k*b}{gcd(a,b)},y=y_{0}-frac{k*a}{gcd(a,b)}$$

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a,b,x,y;
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    exGcd(b,a%b,x,y);
    int t = x; x = y; y = t - a/b * y;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b);
    exGcd(a,b,x,y);
    printf("%d",(x % b + b) % b);
    return 0;
}