区间处理 之 取模 （前缀和） [AtCoder

 https://vjudge.net/problem/AtCoder-4240

题意： 求所有区间中能够被 m 整除的有几个？

思路：根据同余定理，（a-b）%m=a%m-b%m, 显然要用到前缀和

分析：用 前缀和 处理区间问题，并且利用取模的特殊性质：如果余数相等，那么两个数相减就是整除的数，这刚好和前缀和的求区间和对应上了。

注意：不可能用数组来记录1E9种余数，所以要用 map ，一共只有1e5个数，最多只有1e5个值，用map把余数和个数对应起来。

且当位置i的前缀和可以被m除尽时，是可以以第一项为起点的。这种情况会被忽略，所以要在结果中补上。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

map<long long ,long long> mp;
const int maxn = 2e5;

int n,m;
long long a[maxn];
long long pre[maxn];
long long cnt[maxn];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin>>a[i];
        pre[i] = pre[i-1]+a[i];
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        ans += mp[pre[i]%m];
        //cout<<pre[i]%m<<endl;
        //ans += cnt[ pre[i]%m ];
        if( pre[i]%m==0 )
            ans++;
        mp[ pre[i]%m ]++;
        //cnt[ pre[i]%m ]++;
    }
    cout<<ans<<endl;

}