最长上升子序列（总结）

摘要：

求解最长子序列问题（Longest  Increasing Subsequence  缩写为 LIS ）有三种方法，分别是O(n^2)的DP， O(nlogn)的二分+贪心法， 以及O(nlogn)的树状数组优化的DP，这里暂时先介绍前两种方法

 

一、DP（O(n^2)）

我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出， 由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性，下面给出最长子序列的子问题、初始状态、转移方程

子问题：        以 i 为终点的子序列的长度为dp[ i ]

初始状态:       dp[ i ]=1;

转移方程：    dp[ i ]=max(dp[ i ],pre[ k ]+1);    -------->pre[ k ]  (k<i)是区间[ 0,i-1 ]中的最长上升子序列

 

//输入n个数，求这n个数组成的序列中，最长上升子序列的长度
#include <iostream>
using namespace std;

int a[105], dp[105];
int n,ans = -99999999;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=n; i++) 
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[i] = 1;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<i; j++)
        {
            if(a[j] < a[i])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        ans = max(ans, dp[i]);
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

 

二、二分查找+贪心（O(nlogn)）

1.首先定义一个数组a[n]:即为题目给出的序列;

2.其次定义一个数组 lis [ len ]: lis[ len ]的值表示长度为len的子序列的最小末元素;

3. lis[ len ]中的元素是单调递增的(if判断);

4.开始时len=1;lis[ 1 ]=a[ 1 ];然后对a[ i ]:若a[ i ]>lis[ len ],那么len++,lis[ len ] =  a[ i ];

5.否则，我们要从lis数组中找到第一个比a[ i ]大的元素,在根据LIS的定义,我们需要更新长度为j的上升子序列的最末元素(使之为最小的)即 lis[ j ] = a[ i ];

6.最终答案就是len,利用LIS的单调性,在查找j的时候可以二分查找,从而时间复杂度为nlogn。

模板题：hdu 1950  https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/11005682.html

用来理解LIS的一道题 https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/11004852.html