二叉查找树有以下性质：
（1）若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值
（2）若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值
（3）左、右子树也分别为二叉排序树
（4）没有键值相等的节点
插入（递归）
插入的数据之后要满足二叉树的性质1和2，所以要先找到插入位置，且插入的位置一定是在叶子节点的下面
所以插入分两个步骤：
1、确定插入位置是在那个叶子节点下面
2、新建一个节点，让叶子节点指向新建的节点
node* insert(node* root,int x) { //插入的位置一定是在叶子节点，这里是先递归找到叶子节点， if(root==NULL) { //然后新建一个节点，让叶子节点指向这个节点 node *temp=(struct node*)malloc(sizeof(struct node)); temp->data=x; temp->left=NULL; temp->right=NULL; return temp; } if(x<root->data) { root->left=insert(root->left,x); } else root->right=insert(root->right,x); return root;//插入的时候是递归，所以最后会返回根节点 }
查找（递归）
从根节点不断往下找就行
bool search(node * root,int x) { //递归到子节点任然没找到，说明不存在这个节点 if(root==NULL) return false; else if(x<root->data) return search(root->left,x); else if(x>root->data) return search(root->right,x); else return true; }
删除（递归）
删除的时候比较复杂，因为删除的节点不一定是在叶子节点上，有可能在其它位置，删除一个节点后还要维持二叉树的完整和树的性质
如何维持二叉查找树的完整和性质呢?
1、先说如何维持树的完整性：
找到被删除节点的位置之后，我们不直接把这个节点删除，而是从被删除节点的子树中找到一个后继节点，用后继节点的值去替换被删除的节点，
然后删除后继节点（这里有一个递归，会递归到子节点，最后变成删除叶子节点，删除叶子节点就不会影响树的完整）
2、如何维持二叉查找树的性质，也就是如何找后继节点（这个性质是：左节点比根节点小，右节点比根节点大）
1、如果被删除的这个节点既有子树，又有右子树
从右子树中找一个最小值，这个最小值就是后继节点
举个例子解释一下：
如果我要删除值为3的节点，从节点3的右子树中找一个最小值是4，4比右子树中的所有值都大，同时比左子树中所有值都小，所以可以让4去替代3成为根节点
代码
//在右子树中查找后继节点（右子树中的最小值） node* FindMin(node *root) { if(root==NULL) return NULL; else if(root->left==NULL) return root; else return FindMin(root->left); }
2、如果被删除的这个节点既有只有左子树
从左节点中找一个最大值成为后继节点，原理同上
代码
//在左子树中查找后继节点（左子树中的最大值） node* FindMax(node *root) { if(root==NULL) return NULL; else if(root->right==NULL) return root; else return FindMax(root->right); }
3、如果被删除的这个节点既有只有右子树
从右子树中找一个最小值成为后继节点
删除的代码
//删除值为x的节点 node* delet(node* root,int x) { //递归出口是叶子节点 if(root==NULL) { return root; } else { if(x<root->data) root->left=delet(root->left,x); else if(x>root->data) root->right=delet(root->right,x); else { //左右节点都存在 if(root->left&&root->right) { node* temp=FindMin(root->right); //把当前节点的值修改成后继节点的值 root->data=temp->data; //在右子树中找后继节点的位置，并删除 root->right=delet(root->right,root->data); } else { //只存在一个子节点 if(root->left==NULL) root=root->right; if(root->right==NULL) root=root->left; } } } return root;//返回根节点 }
遍历（递归）
树的遍历有三种方式：前序、后序、中序
void inOrder(node* root)//以中序序列输出 { if(root->left != NULL ) //输出左节点 inOrder(root->left); cout << root->data << " ";//输出根节点 if(root->right != NULL ) inOrder(root->right);//输出右节点 } void preOrder(node* root)//以先序序列输出 { cout << root->data << " ";//根 if(root->left!=NULL) preOrder(root->left);//左 if(root->right!=NULL) preOrder(root->right);//右 } void houOrder(node* root)//后序序列输出 { if(root->left!=NULL)//左 houOrder(root->left); if(root->right!=NULL)//右 houOrder(root->right); cout << root->data << " ";//根 }
完整代码
#include<iostream> #include<stdlib.h> #include<string.h> using namespace std; struct node { int data; struct node* left; struct node* right; }; //查找值为x的节点是否在二叉树 bool search(node * root,int x) { //递归到子节点任然没找到，说明不存在这个节点 if(root==NULL) return false; else if(x<root->data) return search(root->left,x); else if(x>root->data) return search(root->right,x); else return true; } //向树中插入一个节点 node* insert(node* root,int x) { //插入的位置一定是在叶子节点，这里是先递归找到叶子节点， if(root==NULL) { //然后新建一个节点，让叶子节点指向这个节点 node *temp=(struct node*)malloc(sizeof(struct node)); temp->data=x; temp->left=NULL; temp->right=NULL; return temp; } if(x<root->data) { root->left=insert(root->left,x); } else root->right=insert(root->right,x); return root;//插入的时候是递归，所以最后会返回根节点 } //在左子树中查找后继节点（左子树中的最大值） node* FindMax(node *root) { if(root==NULL) return NULL; else if(root->right==NULL) return root; else return FindMax(root->right); } //在右子树中查找后继节点（右子树中的最小值） node* FindMin(node *root) { if(root==NULL) return NULL; else if(root->left==NULL) return root; else return FindMin(root->left); } //删除值为x的节点 node* delet(node* root,int x) { //递归出口是叶子节点 if(root==NULL) { return root; } else { if(x<root->data) root->left=delet(root->left,x); else if(x>root->data) root->right=delet(root->right,x); else { //左右节点都存在 if(root->left&&root->right) { node* temp=FindMin(root->right); //把当前节点的值修改成后继节点的值 root->data=temp->data; //在右子树中找后继节点的位置，并删除 root->right=delet(root->right,root->data); } else { //只存在一个子节点 if(root->left==NULL) root=root->right; if(root->right==NULL) root=root->left; } } } return root;//返回根节点 } void PrintBSTree(node *root)//前序遍历输出 { if(root==NULL) return ; else { cout<<root->data<<' '; PrintBSTree(root->left); PrintBSTree(root->right); } } void inOrder(node* root)//以中序序列输出 { if(root->left != NULL ) //输出左节点 inOrder(root->left); cout << root->data << " ";//输出根节点 if(root->right != NULL ) inOrder(root->right);//输出右节点 } void preOrder(node* root)//以先序序列输出 { cout << root->data << " ";//根 if(root->left!=NULL) preOrder(root->left);//左 if(root->right!=NULL) preOrder(root->right);//右 } void houOrder(node* root)//后序序列输出 { if(root->left!=NULL)//左 houOrder(root->left); if(root->right!=NULL)//右 houOrder(root->right); cout << root->data << " ";//根 } int main() { int x,n; node* root=new node; root=NULL; cin>>n; for(int i=0;i<n;i++) { cin>>x; root=insert(root,x); } preOrder(root); cout<<endl; delet(root,4); preOrder(root); cout<<endl; return 0; }