P1063 能量项链

题目描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量眼珠。能量眼珠是一颗有头标记与尾标记的眼珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗眼珠子，

前一颗眼珠子的尾标记一定等于后一颗眼珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗眼珠子才能聚合成一颗眼珠子，同时释放出可以被吸

盘吸收的能量。如果前一颗能量眼珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量眼珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m×r×n（Mars单位），新产生的眼珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗眼珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗眼珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗眼珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号⊕表示两颗眼珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j,k两颗眼珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗眼珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10×2×3=60

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710

输入输出格式

输入格式：

第一行是一个正整数N(4≤N≤100)，表示项链上眼珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗眼珠子的头标记(1≤i≤N)，当i<N时，第i颗眼珠子的尾标记应该等于第i+1颗眼珠子的头标记。第N颗眼珠子的尾标记应该等于第1颗眼珠子的头标记。

至于眼珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗眼珠子，然后按顺时针方向确定其他眼珠子的顺序。

输出格式：

一个正整数E(E≤2.1×(10)^9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入样例1：

4
2 3 5 10

输出样例1：

710

思路：

　　区间DP，化环为线，首先我们要明确的是区间划分，也就是确定DP的阶段。因为有N颗眼珠子，所以我们至少要进行N-1次合并，所以我们DP的阶段就是N-1。

我们用dp[i][j]表示第i颗眼珠子到第j颗眼珠子合并所需要的最大能量，它由max(dp[i][j]，dp[i][k]+dp[k][j]+本次合并的能量)。

之后我们输出dp[i=1~n][i+n]的最大值即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

static int n,a[205],dp[208][208],head[208],tail[208];

long long read()
{
    long long x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[i]=read();
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        head[i]=a[i];
        head[i+n]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<n<<1;++i)
    {
        tail[i]=head[i+1];
    }
    head[n<<1]=a[n];tail[n<<1]=head[1];
    for(int t=1;t<n;++t)
    {
        for(int i=1;i<n*2-t;++i)
        {
            int j=i+t;
            for(int k=i;k<j;++k)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+head[i]*tail[k]*tail[j]);
            }
        }
    }
    static int ans;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}