算法：计数排序

计数排序和鸽巢排序十分相似，同属于桶排序的一种，它的优势在于在对一定范围内的整数排序时，它的速度极快无比，但空间上就恶心一些了。

例题

洛谷1177 排序

题目描述
将读入的 N 个数从小到大排序后输出。

输入格式
第 1 行为一个正整数 N。
第 2 行包含 N 个空格隔开的正整数 a[i]，为你需要进行排序的数，数据保证了a[i]不超过10^9。
​
输出格式
将给定的 N个数从小到大输出，数之间用空格隔开。

输入输出样例
输入

5
4 2 4 5 1

输出

1 2 4 4 5

说明提示
对于20% 的数据，有 N <= 10^3。
对于100% 的数据，有 N <=10^5 。

备注
本来洛谷1177是需要用快速排序来求解的，但实在找不到用计数排序就能过的裸题，因此只好以这道题为例子了。这道题用计数排序实际上只能拿60分，因为计数排序对空间的需求量较大。

计数排序

计数排序，顾名思义就是数每个数出现的次数，这里用cnt数组来记录a数组中每个数出现的次数，cnt[i]表示i这个数在a数组中出现的次数，而根据a数组计算得出这个cnt数组是极为简单的。但考虑到负数情况，我们选择对数组进行平移，这里我们取a数组的最小值对应到0，既cnt[i]表示(i + a_min)这个数在a数组中出现的次数。

我们发现此时这个cnt数组跟鸽巢排序的nest数组是完全一样的，但是往后就不同了。

接下来我们要改变cnt数组的含义了，使cnt[i]表示a数组中小于等于a[i + a_min]的数的个数，这个是可以利用当前cnt数组中每个位置所对应的数在a数组中出现的次数算出来的，既cnt_new[i] = cnt_old[i] + cnt_new[i - 1]，就是cnt[i] += cnt[i - 1]，算个前缀和而已。

最后就是通过cnt数组将a数组排序了，这里考虑到如果直接在a数组上面改动会有后效性，所以新建一个b数组暂时储存。之后因为cnt[a[i] - a_min]表示小于等于a[i]的数的个数，就是a[i]应该是a数组中第几小的，你也可以认为是a[i]应该排在第几位，所以让b数组对应的位置等于a[i]，既让b[cnt[a[i] - a_min]] = a[i]。可是如果后面一次有一个与a[i]相等的a[j]，那么这个a[j]不就被跳过去了吗？所以这里每次要将cnt[a[i] - a_min]--。这样这样再把b数组的值给回a数组就大功告成了。

最后，算一下时间复杂度：这里我们设m为最大值与最小值之差，那么时间复杂度就是O(n + m)。这种排序算法适合应用在n特别大，但m较小的情况。如果m太大，空间、时间都得炸。例如此题的前两个测试点，就因为m太大，所以就RE了。

代码

# include <cstdio>
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <algorithm>
# include <climits>

using namespace std;

const int N_MAX = 100000, M_MAX = 100000000;

int n;
int a[N_MAX + 10], b[N_MAX + 10];
int cnt[M_MAX + 10];

void countSort()
{
	int a_max = INT_MIN, a_min = INT_MAX;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a_min = min(a_min, a[i]);
		a_max = max(a_max, a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cnt[a[i] - a_min]++;
	for (int i = 1; i <= a_max - a_min; i++)
		cnt[i] += cnt[i - 1];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		b[cnt[a[i] - a_min]--] = a[i];
	memcpy(a, b, sizeof(b));
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	countSort();
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%d ", a[i]);
	printf("
");
	return 0;
}