POJ 1201 Intervals (经典) (差分约束)

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题目大意：
给你$n$段区间，$a_i,b_i,c_i$ 表示在 $[a_i,b_i]$ 区间内至少要选择$c_i$个点。现在问你在满足这n个条件的情况下，最少要选多少个点？

解题分析：

经典的差分约束。本问题需要满足的不等式有：$s[b[i]]-s[a[i]-1]geq c[i]，0leq s[i]-s[i-1]leq 1$，其中s[i]表示到第i个位置为止，所选择的点的个数。

转换一下，就能够得到：

$s[b[i]]geq s[a[i]-1]+c[i]$

$s[i]geq s[i-1]+0$

$s[i-1]geq s[i]+(-1)$    以上转载于 >>>

差分约束不等式与最短(长)路结合的评价标准就是：如果不等式的约束条件是"<="，比如b-a<=n，就是将其在图中转化为add(a,b,n)，然后跑最短路，因为那个式子能够转化为 b<=a+n ，这与最短路松弛操作中的三角形不等式 (dis[v]<=dis[u]+w，最终目地的三角形不等式)类似，这里的b就相当于v,a相当于u,所以是a--->b连边。

同理，如果是b-a>=n，就是a--->b连边，然后跑最长路，需要注意的是，由于边权在差分约束中很有可能出现负数，所以一般用SPFA求解最短(长)路。

比如本题就是用SPFA求最长路。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e4+7;
int n,st,ed,cnt;
int head[N],dis[N];
bool vis[N];
struct Edge{
    int to,val,nxt;
    Edge(int _to=0,int _val=0,int _nxt=0):to(_to),val(_val),nxt(_nxt){}
}edge[N<<2];
queue<int>q;
inline void add(int u,int v,int w) {
    edge[++cnt]=Edge(v,w,head[u]);
    head[u]=cnt;
}
void spfa(){        //利用spfa求最长路
    memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
    q.push(st);
    vis[st]=true;dis[st]=0;
    while(q.size()){
        int u=q.front();q.pop();
        vis[u]=false;
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){
            int v=edge[i].to;
            if(dis[v]<dis[u]+edge[i].val){    
                dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
                if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=true;
            }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    st=1e9,ed=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a-1,b,c);        //s[b]-s[a-1]>=c
        st=min(st,a-1);ed=max(ed,b);
    }
    for(int i=st;i<=ed;i++){     //根据添加的两个约束条件建边
        add(i-1,i,0);       //s[i]-s[i-1]>=0
        add(i,i-1,-1);        //s[i]-s[i-1]<=1 即 s[i-1]-s[i]>=-1 
    }
    spfa();    //因为是">="，与最长路的松弛方式(三角形不等式)相同
    printf("%d
",dis[ed]);
}