HDU 3507 Print Article（dp+斜率优化）

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题目大意：
给你一段数字序列，将它分成任意段数，每一段的费用为这段数字的总和的平方+M，让我们求出这段序列的最小费用。

解题分析：

设dp[i]表示输出前i个的最小费用，那么有如下的DP方程：

dp[i]= min{ dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2 +M }  0<j<i

其中 sum[i]表示数字的前i项和。

相信都能理解上面的方程。

直接求解上面的方程的话复杂度是O(n^2)

对于500000的规模显然是超时的。下面讲解下如何用斜率优化DP使得复杂度降低一维。

 

我们首先假设在算 dp[i]时，k<j ,j点比k点优。

也就是

dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M <= dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+M;

所谓j比k优就是DP方程里面的值更小

对上述方程进行整理很容易得到：

[(dp[j]+sum[j]*sum[j])-(dp[k]+sum[k]*sum[k])] / 2(sum[j]-sum[k]) <=sum[i].

注意整理中要考虑下正负，涉及到不等号的方向。

左边我们发现如果令：        yj=dp[j]+sum[j]*sum[j]   xj=2*sum[j]

那么就变成了斜率表达式：（yj-yk）/(xj-xk) <= sum[i];

而且不等式右边是递增的。

所以我们可以看出以下两点：我们令     g[k,j]=(yj-yk)/(xj-xk)

第一：如果上面的不等式成立，那就说j比k优，而且随着i的增大上述不等式一定是成立的，也就是对i以后算DP值时，j都比k优。那么k就是可以淘汰的。

第二：如果  k<j<i   而且 g[k,j]>g[j,i]  那么 j 是可以淘汰的。

假设  g[j,i]<sum[i]  就是i比j优，那么j没有存在的价值

相反如果 g[j,i]>sum[i]  那么同样有 g[k,j]>sum[i]  那么 k比 j优 那么  j 是可以淘汰的

//以上就是斜率优化的证明过程

 

所以这样相当于在维护一个下凸的图形，斜率在逐渐增大。

通过一个队列来维护。

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN = 500010;

int dp[MAXN];
int q[MAXN];   //模拟队列
int sum[MAXN];

int head, tail, n, m;
// dp[i]= min{ dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2 };


int getDP(int i, int j)       //对该决策点进行dp运算
{
    return dp[j] + m + (sum[i] - sum[j])*(sum[i] - sum[j]);
}
int getUP(int j, int k)      //yj-yk部分(dy)
{
    return dp[j] + sum[j] * sum[j] - (dp[k] + sum[k] * sum[k]);
}
int getDOWN(int j, int  k)   //dx
{
    return 2 * (sum[j] - sum[k]);
}



int main()
{
    while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &sum[i]);
        sum[0] = dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)     //sum[i]数组为前缀和数组
            sum[i] += sum[i - 1];


        head = tail = 0;
        q[tail++] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            //把斜率转成相乘，注意顺序，否则不等号方向会改变的
            while (head + 1<tail &&  getUP(q[head + 1], q[head]) <= sum[i] * getDOWN(q[head + 1], q[head]))
                head++;             //起着更新决策点的作用，并且维护下凸曲线
            dp[i] = getDP(i, q[head]);
            while (head + 1<tail && getUP(i, q[tail - 1])*getDOWN(q[tail - 1], q[tail - 2]) <= getUP(q[tail - 1], q[tail - 2])*getDOWN(i, q[tail - 1]))
                tail--;             //这个语句起着删除上凸点的作用
            q[tail++] = i;
        }

        printf("%d
", dp[n]);
    }
    return 0;
}

2018-07-28