HDU4372-Count the Buildings【第一类Stirling数】+【组合数】

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题目大意：

N座高楼，高度均不同且为1~N中的数，从前向后看能看到F个，从后向前看能看到B个，问有多少种可能的排列数。

0 < N, F, B <= 2000

解题分析：

首先我们知道一个结论：n的环排列的个数与n-1个元素的排列的个数相等，因为P(n,n)/n=(n-1)!。

可以肯定，无论从最左边还是从最右边看，最高的那个楼一定是可以看到的.

假设最高的楼的位置固定，最高楼的编号为n，那么我们为了满足条件，可以在楼n的左边分x-1组，右边分y-1组，且用每

组最高的那个元素代表这一组，那么楼n的左边，从左到右，组与组之间最高的元素一定是单调递增的，且每组中的最高元

素一定排在该组的最左边，每组中的其它元素可以任意排列（相当于这个组中所有元素的环排列）。右边反之亦然。

然后，可以这样考虑这个问题，最高的那个楼左边一定有x-1个组，右边一定有y-1个组，且每组是一个环排列，这就引出

了第一类Stirling数（个人分成组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目）。

我们可以先把n-1个元素分成x-1+y-1组，然后每组内部做环排列。再在所有组中选取x-1组放到楼n的左边。所以答案是

ans(n, f, b) = C[f + b - 2][f - 1] * S[n - 1][f + b - 2];

#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cmath>    
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#define LL long long  
using namespace std;  
 
#define mod 1000000007 
const int maxn = 2000 + 200;
LL c[maxn][maxn], s[maxn][maxn];  


//第一类Stirling数s(p,k)的实际意义是：将p个物体排成k个非空循环排列的方法数
void init() {           //第一类斯特灵数通项公式 : S[n][k]=(S[n-1][k-1]+(n-1)*S[n-1][k])
  for(int i = 1; i <= 2005; i++) {       
    s[i][0] = 0; s[i][i] = 1;
    for(int j = 1; j < i; j++) {
      s[i][j] = ((i-1)*s[i-1][j]+s[i-1][j-1]) % mod;   
    //考虑递推，把n个不同元素分成k个不同的环有两种转移。第一种，有可能是n−1个不同元素
    //分成k−1个不同的环，当前的第n个独立成一个元素。第二种可能是n−1个不同元素已经分好了k个不同的环，当前这个可以加进去。
    }
  }
} 

void init2() {                  //初始化组合数
  c[0][0] = 1;
  for(int i = 1; i <= 2005; i++) {
    c[i][0] = 1;
    for(int j = 1; j <= i; j++) {
      c[i][j] = c[i-1][j-1]+c[i-1][j];     //组合数可以用杨辉三角来表示，c[i][j]=它左上方的元素+它正上方的元素
      if(c[i][j] >= mod) c[i][j] -= mod;
    }
  }
}

int main() {
  init();
  init2();
  int T; cin >> T;
  while(T--) {
    int n, f, b; scanf("%d%d%d", &n, &f, &b);

    LL ans = (f+b-2 <= n && f+b-2 >= 1)? c[f+b-2][f-1]*s[n-1][f+b-2]% mod : 0; 
    //c[f+b-2][f-1]的作用就是，将已经排好顺序的(f-1)个环按从小到大的顺序挑出f-1栋楼放在左边
    printf("%lld
", ans);
  }
  return 0;
}

2018-08-12