hdu 5698 组合数

瞬间移动

Problem Description

有一个无限大的矩形，初始时你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以选择一个右下方格子，并瞬移过去（如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子），求到第$n$行第$m$列的格子有几种方案，答案对$1000000007$取模。

Input

多组测试数据。

两个整数$n,m(2\le n,m\le 100000)$

Output

一个整数表示答案

Sample Input

4 5

Sample Output

10

Source

2016"百度之星" - 初赛（Astar Round2B） 

分析：

画几个数之后就可以发现规律了，可以看出是一个倾斜45度的杨辉三角，每个位置的的数相当于：从杨辉三角第（n+m-4)层，取m-2个数。

因为会有除法取模，所以要用逆元。

有两个公式：

这两个公式实际上是等价的，只是用代码实现的时候会有所差别。

我是用第二个写的：

#include<cstdio>
#include<cstring>
const long long mod=1000000007;
typedef long long ll;
const int N=100002;
ll inv[N];
int main()
{
    int n,m;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if(n==1||m==1){
            printf("0
");continue;
        }
        n=n+m-4;
        m=m-2;
        ll ans=1;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            ans=(ans*(ll)(n-i+1))%mod;
            ans=(ans*inv[i])%mod;
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

当然逆元也有很多种实现方法：

可以用扩展欧几里德定理，费马小定理（这需要快速幂实现），或者上面那个递推公式。

对于这题，是用杨辉三角来做的，也有人的思路是：

给我们一个坐标，我们可以得出可以移动到的区域即（n-2）*（m-2）。枚举要在这个区域停留几次，C(y,k)，表示从y列中选k列去停，C（x，k）表示从x行中选哪k行去停。所以乘积累加即为结果。

这种《问题分解》的思想是值得学习的，就像UVa 11134这题的思想是一致的。