CF932E Team Work（第二类斯特林数）

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题意：给定 $n,k$，求 $sumlimits^n_{i=1}dbinom{n}{i}i^kmod(10^9+7)$。

$1le nle 10^9,1le kle 5000$。

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很水的一道题。

根据第二类斯特林数的性质：

$$n^k=sum^k_{i=1}egin{Bmatrix}k\iend{Bmatrix}i!dbinom{n}{i}$$

那么直接套进去：

$$sumlimits^n_{i=1}dbinom{n}{i}sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!dbinom{i}{j}$$

$$sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!sumlimits^n_{i=j}dbinom{n}{i}dbinom{i}{j}$$

$$sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!sumlimits^n_{i=j}dfrac{n!}{i!(n-i)!}dfrac{i!}{j!(i-j)!}$$

$$sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!sumlimits^n_{i=j}dfrac{n!}{(n-i)!}dfrac{1}{j!(i-j)!}$$

$$sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!sumlimits^n_{i=j}dfrac{n!}{j!(n-j)!}dfrac{(n-j)!}{(n-i)!(i-j)!}$$

$$sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!sumlimits^n_{i=j}dbinom{n}{j}dbinom{n-j}{i-j}$$

$$sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!dbinom{n}{j}sumlimits^n_{i=j}dbinom{n-j}{i-j}$$

$$sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!dbinom{n}{j}sumlimits^{n-j}_{i=0}dbinom{n-j}{i}$$

$$sum^k_{j=1}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!dbinom{n}{j}2^{n-j}$$

如果我们知道了所有的 $egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}$ 那么这个式子可以做到 $O(klog n)$。

而预处理这些斯特林数可以用 $k^2$ 递推，当然也可以用卷积做到 $klog k$。

由于本题 $k^2$ 已经足够，而且模数不友好，直接递推就好了。

时间复杂度 $O(k^2+klog n)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int n,k,S[5050][5050];
inline int qpow(int a,int b){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
    return ans; 
}
int main(){
    n=read();k=read();
    S[0][0]=1;
    FOR(i,1,k) FOR(j,1,i) S[i][j]=(S[i-1][j-1]+1ll*S[i-1][j]*j)%mod;
    int c=1,f=1,ans=0;
    FOR(i,1,min(n,k)){
        c=1ll*c*(n-i+1)%mod*qpow(i,mod-2)%mod;
        f=1ll*f*i%mod;
        ans=(ans+1ll*c*S[k][i]%mod*f%mod*qpow(2,n-i))%mod;
    }
    printf("%d
",ans);
}