prufer序列学习笔记

prufer序列是一个定义在无根树上的东西。

构造方法是：每次选一个编号最小的叶子结点，把他的父亲的编号加入到序列的最后。然后删掉这个叶节点。直到最后只剩下两个节点，此时得到的序列就是prufer序列。

这个构造可以用优先队列做到 $O(nlog n)$。

至于如何用prufer序列反推出树，也可以用优先队列做到 $O(nlog n)$。一开始将没出现在序列中的点加入优先队列。每次取出队头，将这个点和序列第一个数连边。然后将序列第一个数删掉，同时将不在序列中的数加入优先队列。序列为空时优先队列中一定有两个点，对这两个点再连边即可。

---

prufer序列的一些性质：

1. 一棵 $n$ 个点的无根树prufer序列长度为 $n-2$。
2. 无根树和prufer序列一一对应，一个无根树唯一对应一个prufer序列，一个prufer序列唯一对应一个无根树。
3. 一个在树中度数为 $d$ 的点在prufer序列中出现了恰好 $d-1$ 次。

那么就能推出一些常用结论：

1. $n$ 个点的无根树（带标号）有 $n^{n-2}$ 棵。（prufer序列长度为 $n-2$，每个位置都可以随便选 $1$ 到 $n$ 的数）
2. $n$ 个点的度数为 $d_1,d_2cdots,d_n$ 的无根树个数为 $dfrac{(n-2)!}{prod(d_i-1)!}$。因为 $i$ 在prufer序列中会出现 $d_i-1$ 次，最后计算出来就是这个式子。

---

一些例题：

洛谷2290 [HNOI2004]树的计数（题解待填充）

洛谷2624 [HNOI2008]明明的烦恼（题解待填充）

洛谷5219 无聊的难水题 I（题解待填充）