这题就是拼拼凑凑就出来了。
可能看英文题面容易题意杀（小写大写 (n,N)），这里复述一遍：对于每个构成凸多边形的点集（每个点恰好都是凸多边形的顶点，必须是严格的凸多边形，内角严格小于 180 度），贡献是 (2^{内部点个数})。内部点包括边，不包括顶点。求贡献之和。
(2^{内部点个数}) 很容易想到枚举内部点集合的子集。
然后发现就变成了：对于每个点集（这次不一定要构成凸多边形了），如果有凸包就有 (1) 的贡献。（感受一下）
可以用总方案数减掉不合法的方案数。不合法的点集一定是全部共线。
然后这个应该可以简单做了。把每两个点的直线拎出来，通过每一种线的出现次数算出这条线上的点数。
数据范围为啥是 200，死都不会 (O(n^3))，只会 (O(n^2log n))……
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=222,mod=998244353;
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
int x=0,f=0;char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f?-x:x;
}
struct line{
double k,b;
bool operator<(const line &l)const{
if(fabs(k-l.k)>1e-8) return k<l.k;
return b<l.b;
}
}l[25555];
int n,ans,pt[maxn],x[maxn],y[maxn],llen,cnt[25555];
inline int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
int main(){
n=read();
FOR(i,1,n) x[i]=read(),y[i]=read();
pt[0]=1;
FOR(i,1,n) pt[i]=2*pt[i-1]%mod;
ans=(pt[n]-(n+1)+mod)%mod;
FOR(i,1,n) FOR(j,i+1,n){
double k,b;
if(x[i]==x[j]) k=1e9,b=x[i];
else k=1.0*(y[j]-y[i])/(x[j]-x[i]),b=y[i]-k*x[i];
l[++llen]=(line){k,b};
}
sort(l+1,l+llen+1);
FOR(i,2,n) cnt[i*(i-1)/2]=i;
FOR(i,1,llen){
int j=i;
while(j<=llen && fabs(l[i].k-l[j].k)<1e-8 && fabs(l[i].b-l[j].b)<1e-8) j++;
j--;
int x=cnt[j-i+1];
ans=(ans-(pt[x]-(x+1)+mod)%mod+mod)%mod;
i=j;
}
printf("%d
",ans);
}