P2617 Dynamic Rankings【树状数组套主席树】

题意：

给定一个含有 (n) 个数的序列 (a_1,a_2 dots a_n)，需要支持两种操作：
Q l r k :表示查询下标在区间 ([l,r]) 中的第 (k) 小的数；
C x y ：表示将 (a_x) 改成 (y)；
(1le n,m le 10^5,1 le l le r le n,1 le k le r-l+1,1le x le n,0 le a_i,y le 10^9)

分析：
  对于第二种操作，可以直接用主席树解决。但对于单点修改，如果直接套用主席树，根据前缀和的思想，后面的每一棵树都要修改。复杂度巨大。因此，要借助树状数组来解决这个问题。在树状数组中，通过从位置 (p) 开始，向前每次 (+(p&(-p)))，可以求出前 (p) 项的前缀和。此处，将树看成是点，用树状数组来维护树之间的关系，主席树来维护内部的结构。
  在权值上建立主席树，首先要离散化，把原来的序列和之后要更改成的值，存放在一个数组中。同时，把在线变成离线来处理。和一般的主席树不同，在每次要向主席树中加入一个新的值时，要先预处理出会影响的树的编号（利用树状数组的方法）：

void modify(int p,int pos,int w,int n)//树的序号，修改位置，值，树的总数
{
    while(p<=n)
    {
        update(1,len,pos,w,root[p]);
        p+=(p&(-p));
    }
}

只对有影响的树进行修改。
  同时，在向一棵树中插入点时，并没有在前一棵树的基础上建立树。而是直接从该树的根开始，新建立一条链，在区间中对应的位置修改。按此操作对所有影响的数修改。

void update(int l,int r,int pos,int w,int &cnt)
{
    if(!cnt) cnt=++tol;
    tree[cnt].val+=w;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid) update(l,mid,pos,w,tree[cnt].ls);
    else update(mid+1,r,pos,w,tree[cnt].rs);
}

查询时同样，先预处理出相应的树：

void ask(int l,int r)
{
    tmp[0][0]=0;
    tmp[1][0]=0;
    for(int i=r;i>0;i-=(i&(-i)))
        tmp[0][++tmp[0][0]]=root[i];
    for(int i=l-1;i>0;i-=(i&(-i)))
        tmp[1][++tmp[1][0]]=root[i];
}

然后，所有的树一起进行处理：

int query(int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)>>1,d=0;
    for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
        d+=tree[tree[tmp[0][i]].ls].val;
    for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
        d-=tree[tree[tmp[1][i]].ls].val;
    if(d>=k)
    {
        for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
            tmp[0][i]=tree[tmp[0][i]].ls;
        for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
            tmp[1][i]=tree[tmp[1][i]].ls;
        return query(l,mid,k);
    }
    else
    {
        for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
            tmp[0][i]=tree[tmp[0][i]].rs;
        for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
            tmp[1][i]=tree[tmp[1][i]].rs;
        return query(mid+1,r,k-d);
    }
}

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=1e5+5;
int a[N],num[N<<1],tmp[2][N],root[N<<1];//原序列数组,用于离散化的数组,要计算的那logn个数组
struct node
{
    int val,ls,rs;
}tree[N*150];//空间很大
struct q
{
    int l,r,k;
}sv[N];//记录操作
int tol,len;//点的个数，区间长度
int index(int x)
{
    return lower_bound(num+1,num+1+len,x)-num;
}
void update(int l,int r,int pos,int w,int &cnt)
{
    if(!cnt) cnt=++tol;
    tree[cnt].val+=w;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid) update(l,mid,pos,w,tree[cnt].ls);
    else update(mid+1,r,pos,w,tree[cnt].rs);
}
void modify(int p,int pos,int w,int n)//树的序号，修改位置，值，树的总数
{
    while(p<=n)
    {
        update(1,len,pos,w,root[p]);
        p+=(p&(-p));
    }
}
int query(int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)>>1,d=0;
    for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
        d+=tree[tree[tmp[0][i]].ls].val;
    for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
        d-=tree[tree[tmp[1][i]].ls].val;
    if(d>=k)
    {
        for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
            tmp[0][i]=tree[tmp[0][i]].ls;
        for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
            tmp[1][i]=tree[tmp[1][i]].ls;
        return query(l,mid,k);
    }
    else
    {
        for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
            tmp[0][i]=tree[tmp[0][i]].rs;
        for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
            tmp[1][i]=tree[tmp[1][i]].rs;
        return query(mid+1,r,k-d);
    }
}
void ask(int l,int r)
{
    tmp[0][0]=0;
    tmp[1][0]=0;
    for(int i=r;i>0;i-=(i&(-i)))
        tmp[0][++tmp[0][0]]=root[i];
    for(int i=l-1;i>0;i-=(i&(-i)))
        tmp[1][++tmp[1][0]]=root[i];
}
int main()
{
    int n,m,cnt=0;
    tol=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        num[++cnt]=a[i];
    }
    char op[4];
    for(int i=1;i<=m;i++)//离线
    {
        scanf("%s",op);
        if(strcmp(op,"C")==0)
        {
            scanf("%d%d",&sv[i].l,&sv[i].r);
            num[++cnt]=sv[i].r;
            sv[i].k=-1;
        }
        else
            scanf("%d%d%d",&sv[i].l,&sv[i].r,&sv[i].k);
    }
    //离散化：
    sort(num+1,num+1+cnt);
    len=unique(num+1,num+1+cnt)-num-1;//返回值是去重之后的尾地址
//    cout<<"len="<<len<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int pos=index(a[i]);//cout<<"pos="<<pos<<endl;
        modify(i,pos,1,n);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(sv[i].k==-1)
        {
            int pos=index(a[sv[i].l]);
            modify(sv[i].l,pos,-1,n);
            a[sv[i].l]=sv[i].r;
            pos=index(sv[i].r);
            modify(sv[i].l,pos,1,n);
        }
        else
        {
            ask(sv[i].l,sv[i].r);
            printf("%d
",num[query(1,len,sv[i].k)]);
        }
    }
    return 0;
}