排列组合的一些公式及推导(非常详细易懂)

绪论：加法原理、乘法原理

分类计数原理：做一件事，有(n)类办法，在第(1)类办法中有(m_1)种不同的方法，在第(2)类办法中有(m_2)种不同的方法，…，在第(n)类办法中有(m_n)种不同的方法，那么完成这件事共有(N=m_1+m_2+…+m_n)种不同的方法。

分步计数原理：完成一件事，需要分成(n)个步骤，做第(1)步有(m_1)种不同的方法，做第(2)步有(m_2)种不同的方法，…，做第(n)步有(m_n)种不同的方法,那么完成这件事共有(N=m_1×m_2×cdots ×m_n)种不同的方法。

区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。

排列问题

排列数

从(n)个不同元素种取出(m(mleq n))个元素的所有不同排列的个数，叫做从(n)个不同元素种取出(m)个元素的排列数，用符号(mathrm{A}_n^m)表示。

排列数公式

[mathrm{A}_n^m=n(n-1)(n-2)cdots(n-m+1)=frac{n!}{(n-m)!},quad n,min mathbb{N}^* , ext{并且}mleq n ]

（规定(0!=1)）

推导：把(n)个不同的元素任选(m)个排序，按计数原理分步进行：

取第一个：有(n)种取法；
取第二个：有((n-1))种取法；
取第三个：有((n-2))种取法；
……
取第(m)个：有((n-m+1))种取法；

根据分步乘法原理，得出上述公式。

排列数性质

(mathrm{A}_n^m = nmathrm{A}_{n-1}^{m-1}) 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。

(mathrm{A}_n^m = mmathrm{A}_{n-1}^{m-1} + mathrm{A}_{n-1}^m) 可理解为：含特定元素的排列有(mmathrm{A}_{n-1}^{m-1})，不含特定元素的排列为(mathrm{A}_{n-1}^m)。

组合问题

组合数

从(n)个不同元素种取出(m(mleq n))个元素的所有不同组合的个数，叫做从(n)个不同元素种取出(m)个元素的组合数，用符号(mathrm{C}_n^m)表示。

组合数公式

[mathrm{C}_n^m=frac{mathrm{A}_n^m}{mathrm{A}_m^m}=frac{n(n-1)(n-2)cdots (n-m+1)}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!},quad n,min mathbb{N}^* , ext{并且}mleq n ]

[mathrm{C}_n^0=mathrm{C}_n^n=1 ]

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

将部分排列问题(mathrm{A}_n^m)分解为两个步骤：

第一步，就是从(n)个球中抽(m)个出来，先不排序，此即组合数问题(mathrm{C}_n^m)；

第二步，则是把这(m)个被抽出来的球排序，即全排列(mathrm{A}_m^m)。

根据乘法原理，(mathrm{A}_n^m=mathrm{C}_n^m mathrm{A}_m^m)，那么

[mathrm{C}_n^m=frac{mathrm{A}_n^m}{mathrm{A}_m^m}=frac{n(n-1)(n-2)cdots (n-m+1)}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!} ]

组合数的性质

(mathrm{C}_n^m = mathrm{C}_n^{n-m}) 可以理解为：将原本的每个组合都反转，把原来没选的选上，原来选了的去掉，这样就变成从(n)个元素种取出(n-m)个元素，显然方案数是相等的。

递推公式(mathrm{C}_n^m=mathrm{C}_{n-1}^m+mathrm{C}_{n-1}^{m-1}) 可理解为：含特定元素的组合有(mathrm{C}_{n-1}^{m-1})，不含特定元素的排列为(mathrm{C}_{n-1}^m)。还不懂？看下面。

Example

从1，2，3，4，5（(n=5)）中取出2（(m=2)）个元素的组合（(mathrm{C}_n^m)）：

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

显然，这些组合中要么含有元素“1”，要么不含。

• 其中含有“1”的是：12 13 14 15

  把里面的“1”都挖掉：2 3 4 5

  而上面这个等价于从2，3，4，5（(n-1)）中取出1（(m-1)）个元素的组合。

• 其中不含“1”的是：23 24 25 34 35 45
  上面等价于从2，3，4，5（(n-1)）中取出2（(m)）个元素的组合。

而总方案数等于上面两种情况方案数之和，即(mathrm{C}_n^m=mathrm{C}_{n-1}^m+mathrm{C}_{n-1}^{m-1})。

组合数求和公式

[mathrm{C}_n^0+mathrm{C}_n^1+mathrm{C}_n^2+cdots+mathrm{C}_n^n=2^n ]

我们感性认知一下，上面这个式子的左边表示什么呢？

把从(n)个球中抽出(0)个球的组合数（值为(1)）、抽出(1)个球的组合数、抽出(2)个球的组合数、……、抽出(n)个球的组合数相加。

换句话说，就是从(n)个球中随便抽出一些不定个数球，问一共有多少种组合。

对于第1个球，可以选，也可以不选，有2种情况。
对于第2个球，可以选，也可以不选，有2种情况。
对于任意一个球，可以选，也可以不选，有2种情况。

根据乘法原理，一共(underbrace{2 imes 2 imes cdots imes 2}_{n ext{个2相乘}} = 2^n)种组合。

想要严谨的证明？数学归纳法：

1. 当(m=1)时，(mathrm{C}_1^0+mathrm{C}_1^1=2=2^1)成立。
2. 假设(n=k(kin mathbb{N}^*))时等式成立，即
   [sum_{i=0}^{k} mathrm{C}_k^i=2^n ]
   成立，当(n=k+1)时，
   [egin{aligned} & mathrm{C}_{k+1}^0 + mathrm{C}_{k+1}^1 + mathrm{C}_{k+1}^2 + cdots + mathrm{C}_{k+1}^{k} + mathrm{C}_{k+1}^{k+1}\ = & mathrm{C}_{k+1}^0+ left(mathrm{C}_k^0+mathrm{C}_k^1 ight) + left(mathrm{C}_k^1+mathrm{C}_k^2 ight) + cdots + left(mathrm{C}_k^{k-1}+mathrm{C}_k^k ight) + mathrm{C}_{k+1}^{k+1}\ = & left(mathrm{C}_k^0 + mathrm{C}_k^1 + mathrm{C}_k^2 + cdots + mathrm{C}_k^k ight) + left(mathrm{C}_k^0 + mathrm{C}_k^1 + mathrm{C}_k^2 + cdots + mathrm{C}_k^k ight)\ = & 2 imes 2^k\ = & 2^{k+1} end{aligned}]
   等式也成立。
3. 由1、2得，等式对(nin mathbb{N}^*)都成立。

也可偷懒地用二项式定理证明：

[(a+b)^n=sum_{k=0}^{n}mathrm{C}_n^k a^{n-k}b^k ]

令(a=b=1)，就得到了

[sum_{i=0}^{n} mathrm{C}_n^i=2^n ]

类似的公式（由(mathrm{C}_n^m = mathrm{C}_n^{n-m})推导）：

[mathrm{C}_n^0 + mathrm{C}_n^2 + mathrm{C}_n^4 + cdots = mathrm{C}_n^1 + mathrm{C}_n^3 + mathrm{C}_n^5 + cdots =2^{n-1} ]

杨辉三角

这个神奇的图形和组合数、二项式定理密切相关。（图片来自百度百科）

杨辉三角可以帮助你更好地理解和记忆组合数的性质：

1. 第(n)行的(m)个数可表示为 (mathrm{C}_{n-1}^{m-1})，即为从(n-1)个不同元素中取(m-1)个元素的组合数。
2. 第(n)行的数字有(n)项。
3. 每行数字左右对称（第(n)行的第(m)个数和第(n-m+1)个数相等，(mathrm{C}_n^m = mathrm{C}_n^{n-m})），由(1)开始逐渐变大。
4. 每个数等于它上方两数之和（第(n+1)行的第(i)个数等于第(n)行的第(i-1)个数和第(i)个数之和，即(mathrm{C}_{n+1}^i=mathrm{C}_n^i + mathrm{C}_n^{i-1})）。
5. ((a+b)^n)的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项（二项式定理）。

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以下来自维基百科（我只是随便贴这）

二项式系数

二项式系数可排列成帕斯卡三角形。
在数学上，二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言，二项式系数由两个非负整数(n)和(k)为参数决定，写作，定义为的多项式展开式中，项的系数，因此一定是非负整数。如果将二项式系数写成一行，再依照顺序由上往下排列，则构成帕斯卡三角形。 ( binom nk {displaystyle (1+x)^{n}}x^{k}{displaystyle {inom {n}{0}},{inom {n}{1}},dots ,{inom {n}{n}}}{displaystyle n=0,1,2,dots })

二项式系数常见于各数学领域中，尤其是组合数学。事实上，可以被理解为从(n)个相异元素中取出(k)个元素的方法数，所以大多读作「(n)取(k)」。二项式系数的定义可以推广至(n)是复数的情况，而且仍然被称为二项式系数。

二项式系数亦有不同的符号表达方式，包括：(C(n,k))、(_nmathrm{C}_k)、(^nmathrm{C}_k)、、[注3]，其中的C代表组合（combinations）或选择（choices）。很多计算机使用含有C的变种记号，使得算式只占一行的空间，相同理由也发生在置换数，例如写作(P( n , k ))。 ({displaystyle mathrm{C}_{n}^{k}}{displaystyle mathrm{C}_{k}^{n}}{displaystyle P_{k}^{n}})

定义及概念
对于非负整数(n)和(k)，二项式系数定义为的多项式展开式中，项的系数，即 ( binom nk{displaystyle (1+x)^{n}}x^{k})

({displaystyle (1+x)^{n}=sum _{k=0}^{n}{inom {n}{k}}x^{k}={inom {n}{0} }+{inom {n}{1}}x+cdots +{inom {n}{n}}x^{n}})
事实上，若(x)、(y)为交换环上的元素，则

((x+y)^n=sum_{k=0}^ninom nk x^{n-k}y^k)

此数的另一出处在组合数学，表达了从(n)物中，不计较次序取(k)物有多少方式，亦即从一(n)元素集合中所能组成(k)元素子集的数量。

计算二项式系数

除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算的值。 ( binom nk)

递归公式
以下递归公式可计算二项式系数：

(inom nk = inom{n-1}{k-1} + inom{n-1}k quad forall n,kinN)

其中特别指定：

(inom n0 = 1 quad forall ninNcup{0}, inom 0k = 0 quad forall kinN).

此公式可由计算(1 + X ) n −1 (1 + X )中的X k项，或点算集合{1, 2, ..., n }的k个元素组合中包含n与不包含n的数量得出。

显然，如果k > n，则。而且对所有n，，故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。 binom nk=0 binom nn=1

帕斯卡三角形(杨辉三角)

有关二项式系数的恒等式

关系式

阶乘公式能联系相邻的二项式系数，例如在k是正整数时，对任意n有：

[{inom {n+1}{k}}={inom {n}{k}}+{inom {n}{k-1}} ]

[inom{n}{k} = frac{n}{k} inom{n-1}{k-1} ]

[inom {n-1}{k} - inom{n-1}{k-1} = frac{n-2k}{n} inom{n}{k} ]

两个组合数相乘可作变换：

[inom ni inom im=inom nm inom {n-m}{i-m} ]

[sum_{r=0}^n inom nr = 2^{n} ]

[{displaystyle sum _{r=0}^{k}{inom {n+r-1}{r}}={inom {n+k}{k}}} ]

[{displaystyle sum _{r=0}^{n-k}{frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{inom {n-k}{r} }={inom {n}{k}}^{-1}} ]

[sum_{r=0}^n inom {dn}{dr}=frac{1}{d}sum_{r=1}^d (1+e^{frac{2 pi ri}{ d}})^{dn} ]

[sum_{i=m}^n inom {a+i}{i} = inom {a+n+1}{n} - inom {a+m}{m-1} ]

[inom {a+m}{m-1} + inom {a+m}{m} + inom {a+m+1}{m+1} + ... + inom {a+n} {n} = inom {a+n+1}{n} ]

[F_n=sum_{i=0}^{infty} inom {ni}{i} ]

[F_{n-1}+F_n=sum_{i=0}^{infty} inom {n-1-i}{i}+sum_{i=0}^{infty} inom {n-i }{i}=1+sum_{i=1}^{infty} inom {n-i}{i-1}+sum_{i=1}^{infty} inom {n-i}{i} =1+sum_{i=1}^{infty} inom {n+1-i}{i}=sum_{i=0}^{infty} inom {n+1-i}{ i}=F_{n+1} ]

主条目：朱世杰恒等式

[ sum_{i=m}^n inom ia = inom {n+1}{a+1} - inom {m}{a+1} ]

[inom {m}{a+1} + inom ma + inom {m+1}a ... + inom na = inom {n+1}{a+1} ]

二阶求和公式

[{displaystyle sum _{r=0}^{n}{inom {n}{r}}^{2}={inom {2n}{n}}} ]

[sum_{i=0}^n inom {r_1+n-1-i}{r_1-1} inom {r_2+i-1}{r_2-1}=inom {r_1+r_2+n-1 }{r_1+r_2-1} ]

[(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(1-x)^{-r_1-r_2} ]

[(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(sum_{n=0}^{infty} inom {r_1+n-1}{r_1-1} x^ n)(sum_{n=0}^{infty} inom {r_2+n-1}{r_2-1} x^n)=sum_{n=0}^{infty} (sum_{ i=0}^n inom {r_1+n-1-i}{r_1-1} inom {r_2+i-1}{r_2-1}) x^n ]

[(1-x)^{-r_1-r_2}=sum_{n=0}^{infty} inom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1} x^n ]

主条目：范德蒙恒等式

[sum_{i=0}^k inom ni inom m{k-i}=inom {n+m}k ]

三阶求和公式
主条目：李善兰恒等式

[{inom {n+k}k}^2=sum_{j=0}^k {inom kj}^2 inom {n+2k-j}{2k} ]