斐波那契数性质 gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]

引理1

结论：

[F(n)=F(m)F(n-m+1)+F(m-1)F(n-m) ]

推导：

[egin{aligned} F(n) &= F(n-1)+F(n-2) \ &= 2F(n-2)+F(n-3) \ &= 3F(n-3)+2F(n-4) \ &= 5F(n-4)+3F(n-5) \ &= cdots \ &= F(m)F(n-m+1)+F(m-1)F(n-m) end{aligned} ]

看出系数的规律了，2=1+1，3=2+1，5=3+2，……

用数学归纳法严谨证明一下：

1）当(m=2)时，(F(n)=F(2)F(n-2+1)+F(2-1)F(n-2)=F(n-1)+F(n-2))成立。

2）设当(m=k quad (2 leq k leq n-2))时，(F(n)=F(k)F(n-k+1)+F(k-1)F(n-k))成立。

又(ecause F(k-1)=F(k+1)-F(k))
( herefore F(n)=F(k)F(n-k+1)+left[F(k+1)-F(k) ight]F(n-k))
即(F(n)=F(k+1)F(n-k)+F(k)left[F(n-k+1)-F(n-k) ight])
又(ecause F(n-k+1)-F(n-k)=F(n-k-1))
( herefore F(n)=F(k+1)F(n-k)+F(k)F(n-k-1))，说明当(m=k+1)时等式也成立。

综上，(F(n)=F(m)F(n-m+1)+F(m-1)F(n-m))对于([2,n-1])内的任意一个整数(m)都成立。

引理2

[gcd(F(n),F(n-1))=1 ]

根据gcd更相减损性质：(gcd(a,b)=gcd(b,a-b) quad (a>b))
得(gcd(F(n),F(n-1))=gcd(F(n-1),F(n)-F(n-1))=gcd(F(n-1),F(n-2)))

不断套用上式得到(gcd(F(n),F(n-1))=gcd(F(2),F(1))=1)

证明(gcd(F(n),F(m))=F(gcd(n,m)))

由引理1可知
(gcd(F(n),F(m)) = gcd(F(m)F(n-m+1)+F(m-1)F(n-m),F(m)) quad (n>m))

而(F(m)F(n-m+1))为(F(m))的倍数，故
(gcd(F(n),F(m)) = gcd(F(m-1)F(n-m),F(m))) （gcd的更相减损，可以消掉(F(m))的倍数）

因为(F(m),F(m-1))互质，于是(gcd(F(n),F(m)) = gcd(F(n-m),F(m)))

递归上式，

(gcd(F(n),F(m)) = gcd(F(n-m),F(m)) = gcd(F(n-m-m),F(m)) = cdots)
(gcd(F(n),F(m)) = gcd(F(n mod m),F(m)))

再递归上式，我们需要比较(n mod m)与(m)谁更大，用大的数mod小的数。这不就是辗转相除法求最大公约数吗？

于是(gcd(F(n),F(m)) = gcd(F(gcd(n,m)),F(gcd(n,m))) = F(gcd(n,m)))

证毕。