欧拉定理
若(gcd(a,m)=1)，则满足(a^{varphi (m)} equiv 1 pmod m)
证明
设([1,m))内与(m)互质的数为数列({b_n}={b_1,b_2,b_3,cdots,b_{varphi (m)}})
因为(a,m)互质且(b_i,m)互质，所以数列({A_n}={ab_1,ab_2,ab_3,cdots,ab_{varphi(m)}})中每个数都与(m)互质，且两两不同。
同时，由(gcd(ab_i,m)=1)可得(gcd(ab_i mod m,m)=1)，即每个(A_i)除以(m)的余数都与(m)互质，且余数两两不同。
可以用反证法推出“余数两两不同”。假设存在(ab_i equiv ab_j pmod m)，那么(ab_i-ab_j=km (k in mathbb{Z}))，即(a(b_i-b_j)=km)。由于(a)与(m)互质，那么只能是(m mid (b_i-b_j))，即(b_i equiv b_j pmod m)。这与(1 leq b_i,b_j < m)且(b_i eq b_j)的题设相违背，因此假设不成立。
所以({A_n})中的每个数一定与({b_n})中的一个数同余，且一一对应。
所以(a^{varphi (m)}prod_{i=1}^{varphi (m)}b_i equiv prod_{i=1}^{varphi (m)}ab_i equiv prod_{i=1}^{varphi (m)}b_i pmod m)
所以(m mid a^{varphi (m)}prod_{i=1}^{varphi (m)}b_i-prod_{i=1}^{varphi (m)}b_i)
即(m mid (a^{varphi (m)}-1)prod_{i=1}^{varphi (m)}b_i)
又因为(gcd(m,prod_{i=1}^{varphi (m)}b_i)=1)
所以(m mid a^{varphi (m)}-1)
即(a^{varphi (m)} equiv 1 pmod m)
费马小定理
当(p)为质数，则(a^{p-1} equiv 1 pmod p)
证明：因为(p)为质数时，(varphi(p)=p-1)
扩展欧拉定理
扩展到不要求互质。
证明
case 1
当(gcd(a,m)=1)时，由欧拉定理知(a^{varphi (m)} equiv 1 pmod m)
我们可以把指数(c)拆成(k imes varphi(m) + left(c mod varphi(m) ight))，那么(a^c=left(a^{varphi(m)} ight)^k imes a^{c mod varphi(m)})，再取模，就得到
case 2
当(gcd(a,m) eq 1)且(c < varphi(m))时，
（无需证明）
case 3
当(gcd(a,m) eq 1)且(cgeq varphi(m))时，
证明：
1.转化
要证明上式，只需证(a)的任意一个质因子(p_i)满足({p_i}^c equiv {p_i}^{(c mod varphi(m))＋varphi(m)} pmod{m})
1.1 证明转化的正确性
如果上式成立，设(a)质因数分解的结果为(a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}cdots)，其中(p_i)为质因数，(r_i)为其对应的指数
根据同余式可乘可推出(({p_i}^c)^{r_i} equiv ( {p_i}^{(c mod varphi(m))＋varphi(m)} )^{r_i} pmod{m})
进而((p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}cdots)^{c} equiv (p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}cdots)^{(c mod varphi(m))＋varphi(m)} pmod{m})
发现这就是(a^c equiv a^{left(c mod varphi(m) ight)+varphi(m)} pmod m)
2.证明转化后的式子
那么现在要证明的东西已经转化，考虑如何证得({p_i}^c equiv {p_i}^{(c mod varphi(m))＋varphi(m)} pmod{m})（以下简称(p_i)为(p)）
2.1 若(m,p)互质
问题转化为case 1的情况。为了防止你翻上去，我再推一遍：
(gcd(m,p)=1 Longrightarrow p^{varphi(m)} equiv 1 pmod m)（欧拉定理）
可以将指数(c)拆成(k imes varphi(m) + left(c mod varphi(m) ight))，那么(p^c=(p^{varphi(m)})^k imes p^{c mod varphi(m)})
再对(m)取模，就得到(p^c equiv (p^{varphi(m)})^k imes p^{c mod varphi(m)} equiv 1^k imes p^{c mod varphi(m)} equiv p^{c mod varphi(m)} equiv p^{(c mod varphi(m))+varphi(m)} pmod m)
2.2 若(p,m)不互质
由于(p)为质数，则(m)必定(geq 2p)。
设(m=s imes p^r)，其中(r=lfloorlog_p{m} floor)（看作把(m)质因数分解后含有(p^r)，剩下的都在(s)里，剩下的(s)不含因数(p)），那么(gcd(s,p^r)=gcd(s,p)=1)
根据欧拉定理(p^{varphi(s)} equiv 1 pmod s)
因为(s,p^r)互质，所以(varphi(m)=varphi(s) imes varphi(p^r))（欧拉函数是积性函数），即(varphi(s) mid varphi(m))
结合欧拉定理(p^{varphi(s)} equiv 1 pmod{s})可得
(p^{varphi(m)} = (p^{varphi(s)})^{varphi(p^r)} equiv 1^{varphi(p^r)} = 1 pmod{s})
同时乘以(q^r)得到
(p^{r+varphi(m)} equiv p^r pmod{s imes p^r})
(m=s imes p^r)，则(p^{r+varphi(m)} equiv p^r pmod{m})
题设条件(cgeq varphi(m))，显然(varphi(m)geq r)
本蒟蒻觉得这一点也不显然，花了好久才证明出(varphi(m)geq r)……QAQ
下面附上我的证明方法（我觉得应该有更简单的方法）首先(varphi(m)=varphi(s) imes varphi(q^r) geq varphi(p^r))（等号在(s=1,2)时取到）
(varphi(p^r)=p^r-p^{r-1}=(p-1) imes p^{r-1} geq p^{r-1})（(pgeq 2)，等号在(p=2)时取到）
数学归纳法证(p^{r-1}geq r)：(r=1)时显然成立，假设(r=i)时(p^{i-1}geq i)成立，可推知(p^{i}=p imes p^{i-1}geq 2 imes p^{i-1}=p^{i-1}+p^{i-1}geq p^{i-1}+1=i+1)成立，因此(p^{r-1}geq r)对任意的(p,rin mathbb{Z},pgeq 2,rgeq 1)成立
把上面所有的不等号串起来，就是(varphi(m)geq r)
那么(p^c=p^{c-r} imes p^r equiv p^{c-r} imes p^{r+varphi(m)}=p^{varphi(m)+c} pmod m)
记(f(x)=xmod m;(xgeq varphi(m)))，上式表明：对于任意的正整数(x)，(f(x+varphi(m))=f(x))。反过来(f(x)=f(x-varphi(m)))，但要注意定义域：此时(x)要满足(x-varphi(m)geq varphi(m))，即(xgeq 2varphi(m))。
如果要计算(f(c))，可以递推上面那个式子，每次让(c-=varphi(m))，但只有(cgeq 2varphi(m))时才可以这样操作。
我们知道，如果递推条件改成(cgeq varphi(m))，显然最后递推得到的值为(cmod varphi(m))。但现在条件是(cgeq 2varphi(m))，发现递推条件相差为(varphi(m))，(cgeq 2varphi(m))比(cgeq varphi(m))少减一次(varphi(m))。所以只需把这一次(varphi(m))加回来就好了，即(f(c)=f((cmod varphi(m))+varphi(m)))，也就是
用途
再也不用担心指数爆炸了！！指数也可以取模了
题目
BZOJ3884（推公式）
BZOJ4869（+线段树）
参考CSDN博主「CaptainHarryChen」的证明思路。十分感谢。