设 (t) 为 (m) 个集合中的元素
在考虑集合个数为 (1) 的时候，(t) 被加了 (C_m^1) 次
在考虑集合个数为 (2) 的时候，(t) 被减了 (C_m^2) 次
在考虑集合个数为 (3) 的时候，(t) 被加了 (C_m^3) 次
...
(t) 总共被加了 (C_m^1-C_m^2+C_m^3-C_m^4+cdots pm C_m^m) 次
（(m) 为奇数时为 (+C_m^m)，偶数时为 (-C_m^m)）
上面的式子可以写成
[egin{aligned}
&sum_{i=1}^m -1 imes (-1)^i C_m^i \
=&-sum_{i=1}^m (-1)^i C_m^i quad dots(mathrm{I})
end{aligned}
]
由二项式定理得
[(-1+1)^m=sum_{i=0}^m (-1)^i cdot 1^{m-i} cdot C_m^i=sum_{i=0}^m (-1)^i C_m^i=1
]
所以
[(mathrm{I})=-left[ (-1+1)^m -C_m^0
ight]=1
]
所以 (t) 被加了 (1) 次，所以容斥原理正确