“隐函数求导法”求圆雉曲线的切线方程
参考《妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程》
以下推导默认切线斜率存在。切线斜率不存在时，换成对 (y) 求导即可得出相同的公式。
一般形式
对于圆锥曲线 (Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0(A^2+B^2 eq 0)) 求关于 (x) 的导数得
(2 A x+B y+B x y'+2 C y y'+D+E y'=0)
即 (displaystyle y'=-frac{2 A x+B y+D}{B x+2 C y+E})
设 (Pleft(x_0, y_0 ight)) 是曲线上的一点，则过此点的切线斜率为 (displaystyle -frac{2 A x_0+B y_0+D}{B x_0+2 C y_0+E})
所以切线方程为 (displaystyle y-y_0=-frac{2 A x_0+B y_0+D}{B x_0+2 C y_0+E}left(x-x_0 ight))
即 (B x_0 y+2 C y y_0+E y-B x_0 y_0-2 C y_0^2-E y_0=-2 A x x_0-B x y_0-D x+2 A x_0^2+B x_0 y_0+D x_0)
(2Axx_0+B x_0 y+B x y_0+2 C y y_0+D x+E y=2 A x_0^2+2 C y_0^2+2 B x_0 y_0+D x_0+E y_0)
(displaystyle Axx_0+frac{B x_0 y+B x y_0}2+C y y_0+frac{D x}2+frac{E y}2=A x_0^2+B x_0 y_0+C y_0^2+frac{D x_0}2+frac{E y_0}2)
所以切线方程为 (displaystyle A x x_0+B frac{x_0 y+x y_0}2+C y y_0+D frac{x+x_0}2+E frac{y+y_0}2+F=0)
综上，若求圆锥曲线 (Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0) 以 (Pleft(x_0,y_0 ight)) 为切点的切线方程，只需将圆锥曲线方程中的这些字母进行替换：
| 替换前 | 替换后 |
|---|---|
| (x^2) | (x_0x) |
| (y^2) | (y_0y) |
| (x) | (dfrac{x_0+x}2) |
| (y) | (dfrac{y_0+y}2) |
| (xy) | (dfrac{x_0y+xy_0}2) |
配方形式
特殊地，若圆锥曲线的方程是配方后的形式：(A(x-m)^2+B(y-n)^2+C=0)，则过点 (Mleft(x_0,y_0 ight)) 的切线方程为 (Aleft(x_0-m ight)(x-m)+Bleft(y_0-n ight)(y-n)+C=0)
要证明这个公式，可以直接对 (A(x-m)^2=Ax^2-2Amx+Am^2) 套用上面的结论，即 (Ax_0x-2Amfrac{x_0+x}2 +Am^2 = Ax_0x-Amx_0-Amx+Am^2=Ax(x_0-m)-Am(x_0-m)=A(x_0-m)(x-m))，所以 (A(x-m)^2
ightarrow A(x_0-m)(x-m))
同理有 (B(x-n)^2
ightarrow B(x_0-n)(x-n))
故 (A(x-m)^2+B(y-n)^2+C=0 ightarrow Aleft(x_0-m ight)(x-m)+Bleft(y_0-n ight)(y-n)+C=0)
或者，也可以直接对 (A(x-m)^2+B(y-n)^2+C=0) 求关于 (x) 的导数，得 (2A(x-m)+2B(y-n)y'=0)，即 (y'=-frac{A(x-m)}{B(y-n)})
所以切线方程为 (y-y_0=-frac{A(x_0-m)}{B(y_0-n)}(x-x_0))
即 (A(x_0-m)(x-x_0)+B(y_0-n)(y-y_0)=0)
(A(x_0-m)(x-m+m-x_0)+B(y_0-n)(y-n+n-y_0)=0)
(A(x_0-m)(x-m)+B(y_0-n)(y-n)=A(x_0-m)^2+B(y_0-n)^2=-C)
即 (Aleft(x_0-m ight)(x-m)+Bleft(y_0-n ight)(y-n)+C=0)
另：向量法求圆的切线方程
设圆上一点 (Aleft(x_0, y_0 ight)), 则 (overrightarrow{OA}left(x_0-a, y_0-b ight))
设切线上任意点 (Bleft(x, y ight))
则 (overrightarrow{A B}=left(x-x_0, y-y_0 ight)) 为切线的方向向量
因为切线与半径垂直，所以
故有 (left(x_0-a ight)left(x-a ight)+(y_0-b)left(y-b ight)=left(x_0-a ight)^2+left(y_0-b ight)^2=r^2)
所以切线方程为 ((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2)
例子
圆
若点 (Mleft(x_0, y_0 ight)) 在圆 ((x-a)^2+(y-b)^2=r^2) 上，则过点 (M) 的切线方程为 (left(x_0-a ight)(x-a)+left(y_0-b ight)(y-b)=r^2)
已知圆 (C:(x-1)^2+y^2=4)，过点 ((2,sqrt3)) 的切线方程为 ((2-1)(x-1)+sqrt3y=4)，即 (x+sqrt3y-5=0)
椭圆
若点 (Pleft(x_0, y_0 ight)) 在椭圆 (displaystylefrac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1) 上，则过点 (P) 的切线方程为 (displaystylefrac{x_0x}{a^2}+frac{y_0y}{b^2}=1)
已知椭圆 (C:frac{x^2}4+y^2=1)，过点 ((1,frac{sqrt3}2)) 的切线方程为 (frac{x}4+frac{sqrt3y}2=1)，即 (x+2sqrt3y-4=0)
双曲线
若点 (Pleft(x_0, y_0 ight)) 在双曲线 (displaystylefrac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1) 上，则过点 (P) 的切线方程为 (displaystylefrac{x_0x}{a^2}-frac{y_0y}{b^2}=1)
抛物线
若点 (Pleft(x_0, y_0 ight)) 在抛物线 (y^2=2px) 上，则过点 (P) 的切线方程为 (displaystyle y_0y=2pfrac{x_0+x}2) 即 (y_0y=p(x_0+x))