圆锥曲线与极坐标

参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/33808071

极坐标

在平面内取一个定点 (O)，叫极点，引一条射线 (Ox)，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点 (M)，用 ( ho) 表示线段 (OM) 的长度（有时也用 (r) 表示），( heta) 表示从 (Ox) 到 (OM) 的角度，( ho) 叫做点 (M) 的极径，( heta) 叫做点 (M) 的极角，有序数对 (( ho, heta)) 就叫点 (M) 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

极坐标系用长度和角度取代了二维的坐标，相对于一般的直角坐标为下面的优点：

• 便于处理角度的关系
• 便于表示和计算长度

设 (M) 为平面上的一点，它的直角坐标为 ((x,y))，极坐标为 (( ho, heta))，易得互化公式：

[left{ egin{aligned} x &= ho cos heta \ y &= ho sin heta end{aligned} ight. quad ext{or} left{ egin{aligned} ho^2 &= x^2+y^2 \ an heta &= frac{y}{x} (x eq 0) end{aligned} ight. ]

圆锥曲线的极坐标方程

（1）以焦点为极点

记 (|PF|= ho)，(P) 到准线 (l) 的距离为 (d)，焦点到准线的距离为 (p)，由圆锥曲线的统一定义知 (frac{ ho}{d}=e)，由图形可得 (d=p+ ho cos heta)，代入得 (frac{ ho}{p+ ho cos heta}=e)，整理后得到圆锥曲线的统一极坐标方程：

[ ho=frac{ep}{1-ecos heta} ]

当 (e=0) 时，轨迹为圆；(0<e<1) 时，轨迹为椭圆；(e=1) 时，轨迹为抛物线；(e>1) 时，轨迹为双曲线。

（2）以坐标原点为极点

在这里只考虑椭圆与双曲线的情况，抛物线也可类比：

椭圆或双曲线的标准方程（焦点在 (x) 轴上）为： (frac{x^2}{a^2}pmfrac{y^2}{b^2}=1)

代入 (x= ho cos heta)，(y= ho sin heta) 得：

(frac{ ho^2 cos^2 heta}{a^2}pmfrac{ ho ^2sin^2 heta}{b^2}=1)，提取 ( ho^2) 得：

(displaystylefrac{1}{ ho ^2}=frac{cos^2 heta}{a^2}pmfrac{sin^2 heta}{b^2})，此方程表示椭圆或双曲线的轨迹。

取加号时，轨迹为椭圆；取减号时，轨迹为双曲线。

一些结论

如图，(F) 为圆锥曲线 (E) 的焦点，过 (F) 的直线交 (E) 与 (A,B) 两点，设直线 (AB) 的倾斜角为 (alpha)，则

[egin{aligned} &|AF|=frac{ep}{1-ecos alpha} , |BF|=frac{ep}{1+ecos alpha} \ &|AB|= frac{ep}{1-ecos alpha}+ frac{ep}{1+ecos alpha}=frac{2ep}{1-e^2cos^2 alpha} end{aligned} ]

（看成以 (F) 为极点的极坐标系，由圆锥曲线方程 ( ho=frac{ep}{1-ecos heta})，令 ( heta=alpha) 可得 (A) 点的 ( ho)，即 (|AF|)；同理，令 ( heta=alpha+pi) 得到 (B) 的，再用诱导公式 (cos( heta+pi)=-cos heta)）

当椭圆与双曲线以标准方程表示时，焦准距 (p=frac{b^2}{c})，离心率 (e=frac{c}{a})，那么

[egin{aligned} &|AF|=frac{b^2}{a-ccos alpha} , |BF|=frac{b^2}{a+ccos alpha} \ &|AB|=frac{2ab^2}{a^2-c^2cos^2alpha} end{aligned} ]

若 (frac{|AF|}{|BF|}=lambda)，则 (frac{1+ecos alpha}{1-ecos alpha}=lambda)，解出

[ecos alpha = frac{lambda-1}{lambda+1} ]

已知 (e,lambda) 时，可用上式求倾斜角。

特殊地，当该曲线为抛物线时，(e=1)，有

[egin{aligned} & |AF|=frac{p}{1-cos alpha} \ & |BF|=frac{p}{1+cos alpha} \ & |AB|=frac{2p}{sin^2 alpha} end{aligned} ]

应用

（1）以焦点为极点

例 1 （2017 年全国Ⅰ卷）10．已知 (F) 为抛物线 (C:y^2=4x) 的焦点，过作两条互相垂直的直线 (l_1)，(l_2)，直线 (l_1) 与 (C) 交于 (A)、(B) 两点，直线 (l_2) 与 (C) 交于 (D)、(E) 两点，则 (|AB|+|DE|) 的最小值为（　　）
A.16　　B.14　　C. 12　　D.10

解 (p=2)，设直线 (AB) 的倾斜角为 (alpha)，则直线 (DE) 的倾斜角为 (alpha+frac{pi}{2})

使用结论：(|AB|=frac{2p}{sin^2alpha}=frac{4}{sin^2alpha})，同理 (|DE|=frac{4}{sin^2(alpha+frac{pi}{2})}=frac{4}{cos^2alpha})

所以 (|AB|+|DE|=frac{4}{sin^2alpha}+frac{4}{cos^2alpha}=left(frac{4}{sin^2alpha}+frac{4}{cos^2alpha} ight) imes 1=left(frac{4}{sin^2alpha}+frac{4}{cos^2alpha} ight)left(sin^2alpha+cos^2alpha ight)geq(frac{2}{sin alpha}sin alpha +frac{2}{cosalpha}cos alpha)^2=(2+2)^2=16) （柯西不等式）

例 2 （模型来自于同济大学自招题）已知椭圆 (C:frac{x^2}{4}+frac{y^2}{3}=1)，过左焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于 (M,N,P,Q) 四点，求四边形 (MNPQ) 的面积的取值范围。

解 依题意 (e=frac{1}{2})，(p=3)，设直线 (PQ) 的倾斜角为 (alpha)，则直线 (MN) 的倾斜角为 (alpha+frac{pi}{2})

(|PQ|=frac{2ep}{1-e^2cos^2alpha}=frac{12}{4-cos^2alpha}=frac{12}{sin^2alpha+3})

用 (alpha+frac{pi}{2}) 代替 (alpha) 得：(|MN|=frac{12}{cos^2alpha+3})

所以 (S=frac{1}{2}|PQ||MN|=frac{72}{(4-cos^2alpha)(cos^2alpha+3)})

此处换元后易求得范围。

例 3 已知梯形 (ABCD) 满足 (AB/!/CD)，(angle BAD =45^circ)，以 (AD) 为焦点的双曲线 (Gamma) 经过 (B,C) 两点，若 (CD=7AB)，则 (Gamma) 的离心率为
A.(frac{3sqrt{2}}{4})　　B.(sqrt{2})　　C.(frac{3sqrt{2}}{2})　　D.(2sqrt{2})

解 延长 (CD) 交 (Gamma) 于点 (E)，由对称性知 (DE=AB)，因此 (frac{CD}{DE}=frac{CD}{AB}=7) 即 (lambda=7)

运用结论 (ecos 45^circ = frac{lambda-1}{lambda+1})，得 (frac{e}{sqrt{2}}=frac{6}{8}=frac{3}{4})，(e=frac{3sqrt{2}}{4})

（2）以坐标原点为极点

例 4 已知椭圆 (C:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1)，过原点作两条射线 (OA)，(OB)，交椭圆于 (A,B)，且满足：(OAot OB)，求证： (frac{1}{|OA|^2}+frac{1}{|OB|^2}) 为定值。

解 1 以坐标原点为极点，(x) 轴为极轴，建立极坐标系，则：

(x= ho cos heta)，(y= ho sin heta)，代入椭圆方程得：

(frac{1}{ ho ^2}=frac{cos^2 heta}{a^2}+frac{sin^2 heta}{b^2})

设直线 (OA) 的倾斜角为 ( heta)，则直线 (OB) 的倾斜角为 ( heta+frac{pi}{2})

(frac{1}{|OA| ^2}=frac{1}{ ho_1 ^2}=frac{cos^2 heta}{a^2}+frac{sin^2 heta}{b^2})

用 ( heta+frac{pi}{2}) 代替 ( heta) 得：

(frac{1}{|OB| ^2}=frac{1}{ ho_2 ^2}=frac{sin^2 heta}{a^2}+frac{cos^2 heta}{b^2})

两式相加得： (frac{1}{|OA|^2}+frac{1}{|OB|^2}=frac{cos^2 heta+sin^2 heta}{a^2}+frac{sin^2 heta+cos^2 heta}{b^2}=frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2})，为定值

用此方法的证明极度简洁，但担心会被扣分，因此给出如下“角参”的做法：

解 2 记 (|OA|=m)，(|OB|=n)，(angle AOx= heta)，(angle BOx= heta+frac{pi}{2})

则 (A(mcos heta,msin heta))，(B(ncos( heta+frac{pi}{2}),nsin( heta+frac{pi}{2})))，即 (B(-nsin heta,ncos heta))，代入椭圆方程得：

(frac{1}{m^2}=frac{cos^2 heta}{a^2}+frac{sin^2 heta}{b^2})

(frac{1}{n^2}=frac{sin^2 heta}{a^2}+frac{cos^2 heta}{b^2})

两式相加得： (frac{1}{m^2}+frac{1}{n^2}=frac{cos^2 heta+sin^2 heta}{a^2}+frac{sin^2 heta+cos^2 heta}{b^2}=frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2})，为定值

其实本质上还是极坐标的思想，不过这样写就不会被当作超纲了~

在这里有人可能会想到椭圆的参数方程： ((acos heta,bsin heta))

但是由于参数方程里面的 ( heta) 并没有明确的几何意义，因此在这里不能使用！！