同态基本定理 设$f:G o H$为群同态,那么同态核${mathrm {Ker}f} riangleleft G$,且$G/mathrm{Ker}fsimeqmathrm{Im}f$.反过来如果$K riangleleft G$,那么映射$pi:G o G/K,gmapsto gK$是一个满同态且其同态核${mathrm Ker}pi=K$.我们把$pi$称为自然同态.
这个定理的证明是容易的,告诉我们的是正规子群和同态核可以认为是一样的,也就是说一个正规子群可以看做某个群同态的同态核,反之同态核一定是正规子群.
与高等代数中线性变换在子空间上的限制类似,我们考虑群同态在子群上的限制：设$f:G o G'$是一个群同态,而$H$是$G$的子群,我们考虑$f$在$H$上的限制$fig|_H$,我们有如下的结论:
第一同构定理 设$K riangleleft G,Hleq G$,那么$$H/Hcap Ksimeq HK/K$$此处蕴含着$Hcap K riangleleft H$以及$K riangleleft HK$.
证明 对于自然同态$pi:G o G/K$,我们考虑$pi$在$H$上的限制$piig|_H$,首要问题是要知道$pi(H)$的结构,按照自然同态的定义显然有$$pi(H):={hK:hin H}=HK/K$$此处如果直接写成$H/K$是有问题的,因为$K$未必是$H$的子群,所以商群未必有意义.所以这里用$HK$来进行修正.并且显然${mathrm Ker}piig|_H=Hcap K$,从而根据同态基本定理可知$$H/Hcap Ksimeq HK/K$$从证明过程可以看出第一同构定理就是自然同态在子群上的限制得到的同态基本定理。
另一个问题如果$K riangleleft G$我们希望清楚商群$G/K$的子群是什么形式的,设$A$是$G/K$的子群,那么$A$由一些左陪集构成,我们把$A$中左陪集的全体代表元构成的集合记作$H$,即$H:={a:aKin A}$,不难验证$H$构成$G$的子群且$Ksubset H$.由于$K riangleleft G$,那么$K riangleleft H$,从而商群$H/K$有意义了,不难发现$A=H/K$.以上分析说明商群$G/K$的子群必形如$H/K$,其中$H$是$G$的包含$K$的子群.
进一步的,如果$H/K$是$G/K$的正规子群，要求$H$也是$G$的正规子群,反过来是否成立呢?我们有如下的第二同构定理:
设$G$是群,$K riangleleft G$,自然同态$pi:G o G/K$建立了群$G$的包含$K$的子群和商群$G/K$的子群之间的一一对应,并且把包含$K$的正规子群对应成$G/K$的正规子群.详言之：若$Ksubset Hleq G$等价于$pi(H)/Kleq G/K$;$Ksubset H riangleleft G$等价于$pi(H)/K riangleleft G/K$.进一步的有$$G/Hsimeq left(G/K ight)/left(H/K ight)$$证明 命$sum_1:={Hleq G:Kleq Hleq G}$即为$G$的包含$K$的子群的全体,$sum_2:={H/K:K riangleleft Hleq G}$即为商群$G/K$的子群的全体,考虑映射$f:sum_1 osum_2,Hmapsto H/K$我们来说明这是一个双射：
首先如果$H_1/K=H_2/K$,那么$forall hin H_1$有$hKin H_2/KRightarrow hin H_2Rightarrow H_1subset H_2$,同理$H_2subset H_1$,从而$H_1=H_2$,这说明$f$是单射;
再来说明$f$是满射,对$G/K$的任意子群$H/K$,经过前面的分析我们知道必然有$Hleq G$,这便说明了$f$是满的.综上可知这是一个一一映射.
再者如果$Hinsum_1$且$H riangleleft G$,那么对任意的$aKin H/K$以及$gKin G/K$有$$gKcdot aKcdotleft(gK ight)^{-1}=gag^{-1}Kin H/K$$从而$H/K riangleleft G/K$;反之如果$H/K riangleleft G/K$,那么对任意的$aKin H/K,gKin G/K$(也就是$ain H,gin G$)有$gKcdot aKcdotleft(gK ight)^{-1}=gag^{-1}Kin H/KRightarrow gag^{-1}in H$,从而$H riangleleft G$.
最后再来说明最后一个同构的式子,仅需考虑同态$phi:G/K o G/H,gKmapsto gH$,首先需要说明的是这个定义是无矛盾的,即若$aK=bK$,那么$b^{-1}ain Ksubset HRightarrow aH=bH$.再者显然这是一个同态,根据同态基本定理有$left(G/K ight)/{mathrm Ker}phisimeq G/H$,而若$gKin{mathrm Ker}phi$,那么$gH=HRightarrow gin HRightarrow{mathrm Ker}phisubset H/K$;另一方面若$hin H$,那么$phi(hK)=hH=HRightarrow hKinmathrm{Ker}phiRightarrow H/Ksubset{mathrm Ker}phi$,综上$H/K={mathrm Ker}phi$.从而$$G/Hsimeq left(G/K ight)/left(H/K ight)$$