我们把集合$sum$到自身的一个一一对应$sum$叫做$S$上的一个置换,以$S(sum)$表示$sum$上的全体置换构成的集合,我们定义两个置换$sigma, au$的乘法运算为二者关于映射的复合运算$$sigmacdot au=sigmacirc auLeftrightarrow (sigmacirc)a=sigma( au(a)),forall ain S$$显然在此运算下$S(sum)$构成一个群,幺元是恒等映射.这个群称为集合$sum$上的对称群,他的子群均叫做集合$sum$上的置换群.
我们不难看出两个群$S(sum),S(sum')$的本质区别就是集合$sum,sum'$的基数区别,如果基数一样$|sum|=|sum'|=n$,那么两个对称群是同构,因此我们一般上把这个群记作$S_n$,称作$n$元对称群,而$S_n$的子群均叫做$n$元置换群.
对于$n$元集合上任意的置换$sigma$,可以把他记作$$sigma=left(egin{matrix}1&2&cdots&n\sigma(1)&sigma(2)&cdots&sigma(n)end{matrix} ight)$$由于$sigma$是到自身的双射,因此$sigma(1),cdots,sigma(n)$就是$1,2,cdots,n$的一个重排,从而$S_n$与$1,2,cdots,n$的重排之间一一对应,从而$|S_n|=n!$.以如下置换为例$$sigma=left(egin{matrix}1&2&3&4\2&3&4&1end{matrix} ight)$$即$1xrightarrow{sigma}2xrightarrow{sigma}3xrightarrow{sigma}4xrightarrow{sigma}1$,所以也把$sigma$记作$$sigma=(1~2~3~4)$$类似的置换$ au=left(egin{matrix}1&2&3&4\2&1&4&3end{matrix} ight)$,我们可以将其写成$ au=(1~2)(3~4)$.由此可以引出轮换的概念:
一个置换$sigma$如果有$i_1xrightarrow{sigma}i_2xrightarrow{sigma}cdotsxrightarrow{sigma}i_rxrightarrow{sigma}i_1$,那么我们把$sigma$称作是一个$r-$轮换,记作$sigma=(i_1~i_2~cdots~i_r)$,称$r$是轮换$sigma$的长度.当然$sigma$也可以写成$(i_2~i_3~cdots~i_r~i_1)$等等.特别的,$2-$轮换称为对换,$1-$轮换也就是恒等映射,记作$(1)$.我们知道两个置换$sigma, au$一般来讲未必是可交换的,即$sigma au eq ausigma$,但是不难看出如果二者没有公共元素,那么此时二者是可交换的,即$sigma au= ausigma$.据此我们有如下定理：
$S_n$中的每个置换总可以被分解成一些不相交的轮换的乘积,并且除了次序不同外,这种分解是唯一的.
这个结论比较显然,但我们还是严格的写一下他的证明.任取$sigmain S_n$,如果$sigma=(1)$,那么结论是显然的.不妨设$sigma eq(1)$,那么总可以找到某个$i_1$使得$sigma$将其变动,设$sigma(i_1)=i_2,sigma(i_2)=i_3,cdots$,显然总会在若干步以后第一次与前面元素重复,设$sigma(i_r)=i_j=sigma(i_{j-1})$,其中$1<j<r$.而$sigma$为双射,从而$i_r=i_{j-1}Rightarrow sigma(i_{r-1})=i_{j-1}$,这与第一次相矛盾！这说明必然有$j=1$,即$sigma(i_r)=i_1$,那么取$sigma_1=(i_1~i_2~cdots~i_r)$,这是一个$r-$轮换.接下来在剩余的$i_{r+1},i_{r+2},cdots$中不断重复上述操作,便可将$sigma$分解成一些不相交轮换的乘积$$sigma=sigma_1cdotssigma_s$$
再证分解的唯一性,如若$sigma$还能分解成另外的不相交轮换的乘积$sigma= au_1cdots au_t$,若$sigma$变动元素$a$,即$sigma(a) eq a$,那么在上面分解中必然存在(不妨设)$sigma_1(a) eq a$以及$ au_k(a) eq a$,注意到$forall minmathbb N$有$$sigma_1^m(a)=sigma^m(a)= au_k^m(a)$$这说明$$sigma_1=(a~~~sigma(a)~~~sigma^2(a)~~~cdotssigma^p(a))= au_k$$不断重复上述操作即可得到$s=t$,并且适当改变$t_1,cdots,t_t$的顺序后有$sigma_i= au_i,forall 1leq ileq s$.这就完成了定理的证明.
轮换的分解 注意到对于你轮换$(1~2~cdots~r)$显然有分解$$(1~2~cdots~r)=(1~r)cdots(1~2)$$也就是说每个轮换都可以被分解成一些对换的乘积(注意这里没有不相交的条件),但是显然这种分解方式并不唯一,例如$$(1~2~3)=(1~3)(1~2)=(1~4)(3~4)(2~4)(1~4)$$但是我们会发现不同的分解方式下,轮换个数的奇偶性相同,我们有如下的定理:
$S_n$中任意轮换$sigma$可被分解成一些对换的乘积,并且不同的分解方式下对换个数的奇偶性相同，换句话说对换个数的奇偶性是由轮换本身决定的.
证明 我们采用一种矩阵的证法,在集合$S={a_1,cdots,a_n}$中,每个轮换都可以看作是一个线性变换,对应一个初等矩阵.每个对换$(i~j)$可以视作$S$上的一个线性变换,对应一个第一类初等矩阵(对换单位阵的第$i,j$行得到的矩阵)
[A=left( {egin{array}{*{20}{c}}
1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \
{} & ddots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \
{} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} \
{} & {} & {} & 0 & cdots & 1 & {} & {} & {} \
{} & {} & {} & vdots & ddots & vdots & {} & {} & {} \
{} & {} & {} & 1 & cdots & 0 & {} & {} & {} \
{} & {} & {} & {} & {} & {} & 1 & {} & {} \
{} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & ddots & {} \
{} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 1 \
end{array}}
ight)]
不难看出他的行列式${mathrm det}A=-1$,并且轮换$sigma$对应的矩阵$M$即为相应分解下每个对换的矩阵的乘积从而$$mathrm {det}M=mathrm {det}left(A_1cdots A_s ight)=prod_{i=1}^{s}(-1)=(-1)^s$$这样会发现如果分解的个数的奇偶性 对应${1,-1}$.显然对于同一轮换的不同对换分解个数$s,t$就需要$(-1)^s=(-1)^t$,这说明$s,t$的奇偶性相同.这便完成了证明.
而任意置换$sigma$可以分解成一些不相交轮换的乘积，据此我们得出任意置换可被分解成一些对换的乘积，并且不同的分解中对换的个数的奇偶性相同,如果个数是奇数个,那么称$sigma$是奇置换；偶数个则称$sigma$为偶置换.可以看出$r-$轮换的奇偶性和整数$r$的奇偶性相反.
由上述性质可以看出偶置换乘以偶置换还是偶置换,并且偶置换的逆还是偶置换,恒等映射$(1)$也是一个偶置换(因为$(1)=(1~2)(1~2)$),从而全体偶置换构成了$S_n$的子群,称为$n$元交错群,记作$A_n$.事实上按照奇偶置换的运算结果可以看出$A_n$还是$S_n$的正规子群$A_n riangleleft S_n$.
事实上很容易看出$S_n$中奇偶置换的个数是一样的,这里给出一个简单的证明,考虑如下映射$$phi:S_n o{1,-1}$$$phi$将偶置换对应到$1$,奇置换对应到$-1$,不难验证这是一个满的群同态,根据同态基本定理有$S_n/mathrm{Ker}phisimeq{1,-1}$,而显然$mathrm{Ker}phi=A_n$,根据Lagrange定理可知$$2=|S_n/A_n|=frac{|S_n|}{|A_n|}$$从而奇偶置换个数相同.
上述证明还可以看出,如果$S_n$的任意子群$H$中含有奇置换,那么必然奇偶置换各半!