zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 【原】概率论——第一章第4节

    第一章 随机事件与概率

    1.4 概率的性质及有关概率的连续性

    一 概率的性质

    由概率的公理化定义(非负性,正则性和可列可加性)可以导出概率的一系列性质:

    性质1 $P(emptyset)=0$;
    性质2 有限可加性,若有限个事件$A_1,A_2,cdots,A_n$互不相容,则有$$P(igcuplimits_{i=1}^{n} A_i)=sum limits_{i=1}^{n} P(A_i)$$
    性质3 对任一事件$A$,有$P(overline A)=1-P(A)$;
    性质4 若$Asupset B$,则$P(A-B)=P(A)-P(B)$;
    性质5 对任意两个事件$A$,$B$,有$P(A-B)=P(A)-P(AB)$;
    性质6 加法公式:对任意两个事件$A$,$B$,有:$$P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

    二 概率的连续性

    定义1 对$mathcal{F}$中任一单调不减的事件序列$F_1subset F_2subset cdots subset F_n subset cdots$,称可列并$igcuplimits_{i=1}^{+infty} F_i $为${F_i}$的极限事件。并记为:$$lim_{n o +infty} F_n=igcuplimits_{n=1}^{+infty} F_n$$
    定义2 对$mathcal{F}$中任一单调不增的事件序列$E_1supset E_2supset cdots supset E_n supset cdots$,称可列交$igcaplimits_{i=1}^{+infty} E_i $为${F_i}$的极限事件。并记为:$$lim_{n o +infty} E_n=igcaplimits_{n=1}^{+infty} E_n$$
    定义3 对$mathcal{F}$上的一个概率$P$,若它对$mathcal{F}$中任一单调不减的事件序列${F_n}$均成立$$lim_{n o +infty} P(F_n)=P(lim_{n o +infty} F_n)$$
    则称概率$P$是下连续的。

    定义4 对$mathcal{F}$上的一个概率$P$,若它对$mathcal{F}$中任一单调不增的事件序列${E_n}$均成立$$lim_{n o +infty} P(E_n)=P(lim_{n o +infty} E_n)$$
    则称概率$P$是上连续的。

    定理1 (概率的连续性)设${A_n}$是一个单调递减的事件列,则$$P(igcaplimits_{i=1}^{infty} A_i)=lim_{n o infty} P(A_n)$$
    证明:设$A_1=emptyset,~ c_n=overline {A_n}-overline {A_{n-1}},~ n=1,2,cdots$
    则$c_ncap c_m =emptyset,~ n e m$且$igcuplimits_{i=1}^{infty}{overline {A_i}}=igcuplimits_{i=1}^{infty}{c_i}$,于是有:
    $$P(igcaplimits_{i=1}^{infty} A_i) =1-P(igcuplimits_{i=1}^{infty} overline A_i) =1-P(igcuplimits_{i=1}^{infty}{c_i})=1-sumlimits_{i=1}^{infty}{P(c_i)}=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{P(c_i)}$$
    $$=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{P(overline {A_i}-overline {A_{i-1}})}=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{[P(overline {A_i})-P(overline {A_{i-1}})]}$$
    $$=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{[P(overline {A_i})-P(overline {A_{0}})]}=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{[1-P({A_i})]}$$
    $$=lim_{n o infty} P(A_n)qquadqquadqquadqquadqquadqquadqquadqquad$$

    定理2 (概率的下连续性)设${A_i}$是一个单调递增的事件列,则$$P(igcuplimits_{i=1}^{infty} A_i)=lim_{n o infty} P(A_n)$$
    证明:略
    定理3 设$P$是定义在$F$上的一个非负的,规范性的集函数,则$P$可列可加的充要条件是$P$是有限可加的且是下连续的。
    证明:略

  • 相关阅读:
    第12组 Beta冲刺(2/5)
    第12组 Beta冲刺(1/5)
    第12组 Alpha事后诸葛亮
    第12组 Alpha冲刺(6/6)
    第12组 Alpha冲刺(5/6)
    期末大作业(第十七小组)
    补交:第2次&第5次实践作业
    第6次实践作业 (第17小组)
    第4次实践作业
    第3次实践作业
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/10manongit/p/12816827.html
Copyright © 2011-2022 走看看