『笔记』随机化算法

引言：长久的关系不会是道德式的自我感动 ​​

一、时间期望值的估计

题目：假设(1.. n) 中每个数被选的概率相等，并且假设第 (k) 个数总是
出现在划分后两个数组中较大的数组 ，算法的期望时间为:

[T(n)lefrac{1}{n}(T(n-1)+T(n-2)+……+T(frac{n}{2}+1)+T(frac{n}{2})+T(frac{n}{2}+1)+……+T(n-2)+T(n-1) ]

因为具有对称性，所以可以合并为

[T(n)lefrac{2}{n}sum^{n-1}_{i=frac{n}{2}}T(i)+O(n) ]

二、(n) 皇后问题的随机算法

前 (k) 个 用(BoolQueen)随机放置皇后

(n-k) 个皇后用搜索回溯的方法进行放置，增加算法的正确性

对于不同的 (k) 值，假设 (p) 为算法成功的概率， (s) 为一次成功搜索访问的节点数的平均值，(e) 为一次不成功搜索访问的节点数的平均值，(t) 为算法找到一个解得平均时间

[t=p imes s+(1-p) imes (e+t) ]

[t=s+e imes frac{1-p}{p} ]

可以发现，当全部用确定性算法的时候((k=0)) 争取性是(100)%的,但当全部用随机算法，虽然时间会减少大部分，但是正确性会大大降低，通过分析公式发现，当(k=frac{n}{2})左右时，正确性和时间都是较为理想的。

三、主元素测试问题

问题：

主元素：出现次数超过一半以上的元素

输入：(n) 个元素的数组 (T)

输出：如果存在主元素则输出(“true”)，否则(“false”)

算法 (Majority(T,n))

1. (i) =Random(1,n)

2. (x) =T(i)

3. 计数 (x) 在 (T) 中出现的个数 (k)

4. if (k>n/2) then return true

5. else return false

如果回答(true),那么 (T) 中存在主元素，算法正确，如果回答 (false),(T)仍然可能会存在主元素，算法可能会出错，回答正确概率大于(frac{1}{2})

算法 (BoolMajority(T,n))

1. if (Majority(T,n)) then return true

2. else return (Majority(T,n))

(BoolMaiority) 的算法正确概率

[p+(1-p)p+(1-p)^2p=1-(1-p)^2>frac{3}{4} ]

调用 (k) 次的正确概率为(1-(1-p)^k>1-2^{-k})

四、串相等测试（随机化字符串哈希）

问题：(A) 有一个长串 (x), (B) 有长串 (y)，(A) 和 (B) 希望知道 (x=y)?

方法一：正常用哈希匹配，占用空间大

方法二：传递子串进行比较，正确性不确定

(A) 用 (x) 导出一个短串 (f(x)) ((fingerprints))

(A) 将 (f(x)) 发送到 (B)

(B) 使用同样方法导出相对于 (y) 的短串 (f(y))

(B) 比较 (f(x)) 与 (f(y))

如果 (f(x) eq f(y))则 (x eq y);

如果 (f(x) = f(y))，则不确定.

(Trick)

设 (x) 和 (y) 的二进制表示为正整数 (I(x)), (I(y))

选择素数 (p), 指纹函数为

(I_p(x) = I(x) mod p)

(A) 传送 (p) 和 (I_p(x)) 给 (B). 当 (p) 不太大时，传送一个短串.
存在问题：

(x = y o I_p(x) = I_p(y))

(Ip(x) = Ip(y) ⇏ x = y)

出错条件：固定

(p | (I(x) - I(y)))

改进版 (Trick)

改进方法： 随机选择素数 p 进行测试

算法 (StringEqualityTest)

1. 随机选择小于 (M) 的素数 (p) //M为正整数

2. (A) 发送 (p) 和 (I_p(x)) 给 (B)

3. (B) 测试是否 (I_p(x) = I_p(y))

出错的必要条件：

(x) 的位数等于 (y) 的位数

(p | (I(x)-I(y)))

该笔记因快速幂终结!