树的重心

GeneralLiu

个人理解：

　　

　　

　　重心 应该可以 当成 "中央" 来理解吧

　　

　　一个苹果 从 心 开始烂

　　这是很糟糕的

　　

　　一个国家 从 中央 开始腐败

　　这也是一个道理

 

　　一棵树中， 去掉一个点

　　一定会 分成几块 导致不联通 （叶子 和 只有一个孩子 的根 当然是暂时不考虑了）

　　而且 不管删去 哪个节点

　　剩下的 节点总数 是不变的

　　

　　树的重心 就可以理解为

　　删去某节点  使 剩下节点块 变成最糟糕 的情况

　　这个节点 就是重心

　　

　　而那个 最糟糕的情况

　　是指 其子树中 

　　　　最大子树  节点最少

　　

 

 

满足条件

　　

　　size[i]*2>=n,

　　且 他的 子树 size[j]*2<n

　　

　　如果 n 为偶数 重心可能会有 两个

 

　　具体怎么证明  我也不清楚

　　总之 ， 玄学 地 去理解吧

 

 

应用

 

 

　　洛谷 P1364 医院设置

 

　　题目大意

　　　　

　　　　给出 一个树型 城市

　　　　每个 居住点 都有一定人数

　　　　道路 的 长度 均为 1

　　　　现在 要建一家 医院

　　　　使 所以居民 行走的路程和 最小

 

　　加权重心可求

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int size[105],ans,dis[105],tot,s,n,vec[105][3],a[105];
void dfs(int k){ // 找 重心
    size[k]=a[k]; 
    if(vec[k][0])
        dfs(vec[k][0]),
        size[k]+=size[vec[k][0]];
    if(vec[k][1])
        dfs(vec[k][1]),
        size[k]+=size[vec[k][1]];
    if(!s&&size[k]*2>tot)s=k; //如果满足加权重心条件 则将第一个满足条件的 设为重心
}
void dfs1(int k){ // 求 距离
    for(int i=0;i<=2;i++)
        if(vec[k][i]&&!dis[vec[k][i]]){
            dis[vec[k][i]]=dis[k]+1;
            ans+=a[vec[k][i]]*(dis[vec[k][i]]-1);
            dfs1(vec[k][i]);
        }
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){ //因为是二叉树，所以vec数组只存 左 右孩子 及 父亲即可
        cin>>a[i]>>vec[i][0]>>vec[i][1];
        tot+=a[i]; //累加权值
        vec[vec[i][0]][2]=i;
        vec[vec[i][1]][2]=i;
    }       
    dfs(1); //认为 1 为树根， 找加权重心 s
    dis[s]=1; 
    dfs1(s); // 二次 dfs 累加 ans
    cout<<ans;
    return 0;
}