牛客网计算机考研复试-KY8-整数拆分

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题目描述：
一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

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思路：
使用动态规划的思想，最终得到代码中的两个式子，

f(2m+1) = f(2m)
f(2m) = f(2m-1)+f(m)

具体的思路，搬运一下评论里的（原文在题目链接评论中，举的例子比较好理解）：

思路：通过递推公式，划分为子问题求解。
问题：一个整数拆分为2的幂的和。即（1, 2, 2^2, 2^3，..., 2^k），包含1个奇数和k个偶数。
对于N，分为两种情况：
1）N为奇数(2m+1)，则每个拆分结果必然至少有一个1，因为只通过k个偶数无法组成奇数。所以f(2m+1) = f(2m)
例如 f(5) 1+(4) 1+(2+2) 1+(1+1+2) 1+(1+1+1+1+1)
f(4) 4 2+2 1+1+2 1+1+1+1+1
2) N为偶数(2m)，拆分同样分为两类：拆分结果中包含1和拆分结果不包含1
a) 拆分结果包含1 （奇拆分）：所有的拆分数目为f(2m-1),同上
b) 拆分结果不包含1（偶拆分）：拆分数目为f(m)。 拆分结果不包含1,说明是拆分成了k个偶数，那么对每一种拆分结果都除以2，并不会影响整体拆分的数目。但是每个拆分结果的sum都变成了m，即每个2m的偶拆分都变成了m的拆分。同样对m的每种拆分结果都乘以2，拆分结果的sum都变成了2m且不包含1。即m的拆分和2m的偶拆分一一对应。
例如f(8) (不包含1的拆分有四种) 8 4+4 2+2+4 2+2+2+2
f(4)（所有拆分有四种） 4 2+2 1+1+2 1+1+1+1
f(2m) = f(2m-1) + f(m)

综上所述：
f(2m+1) = f(2m)
f(2m) = f(2m-1) + f(m)

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代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9;
const int maxn = 1e6+2;
int f[maxn];
int main(){
    int n;
    f[1] = 1;
    for(int i=2;i<=1e6;i++){
        if(i%2==1)
            f[i] = f[i-1];
        else
            f[i] = (f[i-1]+f[i/2])%mod;
    }
    while(cin >> n){
        cout << f[n] << endl;
    }
    return 0;
}