拉格朗日插值法

拉格朗日插值法，原理请看百度百科。

题目：落谷 P4781 【模板】拉格朗日插值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=2e3+10;
const int MOD=998244353;
int n,k,x[N],y[N];

int power(LL x,LL p,LL MOD) {
    LL ret=1;
    for (;p;p>>=1) {
        if (p&1) ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
    }
    return (int)ret;
}

int Lagrange() {
    int ret=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        int up=1,down=1;
        for (int j=1;j<=n;j++) {
            if (i==j) continue;
            up=(LL)up*((k-x[j])%MOD+MOD)%MOD;  //分子 
            down=(LL)down*((x[i]-x[j])%MOD+MOD)%MOD;  //分母 
        }
        int tmp=(LL)y[i]*up%MOD*power(down,MOD-2,MOD)%MOD;
        ret=(ret+tmp)%MOD;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    cin>>n>>k;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    cout<<Lagrange()<<endl;
    return 0;
}

南昌拉格朗日插值b题。

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/40254

（此题要求该多项式l-r的值的和，那么我们可以先算出该多项式的和多项式，注意：n次多项式的和多项式是n+1次的故要先算出第n+1项再用拉格朗日插值法求和多项式）。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e3+10;
const int p = 9999991;
ll pre[N],suf[N],ifac[N],sum[N],a[N],fac[N];
ll power(ll x,ll t)
{
    ll ret=1;
    while(t)
    {
        if (t&1) ret=ret*x%p;
        x=x*x%p;t>>=1;
    }
    return ret;
}
void init(int n)
{
    fac[0]=1;
    for (int i = 1; i <= n+2; ++i)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    }
    for (int i = 0; i <= n+2; ++i)
    {
        ifac[i]=power(fac[i],p-2);
    }
}
int Lagrange(ll *y,ll n,ll k)
{
    ll ans=0;pre[0]=1;suf[n+1]=1;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) pre[i+1]=1ll*pre[i]*(k-i)%p;
    for (int i = n; i >= 0; --i) suf[i]=1ll*suf[i+1]*(k-i)%p;

    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        ll temp=y[i]*pre[i]%p*suf[i+1]%p*ifac[i]%p*ifac[n-i]%p;
        if ((n-i)&1) ans=(ans-temp)%p;
        else ans=(ans+temp)%p;
    }
    return (ans%p+p)%p;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    ll t,n,m,l,r;
    cin>>t;
    init(1020);
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        for (int i = 0; i <= n; ++i)
        {
            cin>>a[i];
        }
        a[n+1]=Lagrange(a,n,n+1);
        sum[0]=a[0]%p;
        for (int i = 1; i <= n+1; ++i)
        {
            sum[i]=(sum[i-1]+a[i])%p;
        }
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            cin>>l>>r;
            ll ans=Lagrange(sum,n+1,r)-Lagrange(sum,n+1,l-1);
            cout<<(ans+p)%p<<"
";
        }
    }
    return 0;
}