HNOI2008 玩具装箱TOY

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入输出格式

输入格式：
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出格式：
输出最小费用

输入输出样例

输入样例#1：
5 4
3
4
2
1
4
输出样例#1：
1

芒果君：搞了一天的斜率优化QAQ 心累

这道题如果你看成划分DP还是挺简单的，设前缀和为sum，则转移方程为

$f[i]=f[j]+( sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2qquad(j<i)$

然而n方的时间复杂度我们实在是接受不了呢。于是，为了快速跳过那些没用的状态，就加一个玄学的斜率优化。如果当前状态f[i]是由f[j]继承而来，则不知道从哪来的k没有j优，也就是说

$fleft[j ight]+left( sumleft[i ight]-sumleft[j ight]+i-j-1-L ight)^2 leq fleft[k ight]+left( sumleft[i ight]-sumleft[k ight]+i-k-1-L ight)^2$

然后我们设T[i]=sum[i]+i，G[i]=T[i]+L+1，替换一下上面的公式（我懒得打了），最后移项得

$dfrac{fleft[j ight]+Gleft[j ight]^2-left(fleft[k ight]+Gleft[k ight]^2 ight)}{2left(Gleft[j ight]-Gleft[k ight] ight)} leq Tleft[i ight]$

上式可以验证哪个状态更优，然后我们用单调队列来维护，它的队首最优，继承给当前f[i]，其实将式子推出来就没有太大的难点了，关键是方法。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#define ll long long
#define maxn 50010
using namespace std;
int n,L,q[maxn],head,tail;
ll sum[maxn],f[maxn],T[maxn],G[maxn];
ll read()
{
    ll ret(0);
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        ret=ret*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return ret;
}
inline ll p(ll x){return x*x;}
inline ll calf(ll x,ll y){return f[y]+p(T[x]-G[y]);}
inline ll calu(ll x,ll y){return f[x]+p(G[x])-(f[y]+p(G[y]));}
inline ll cald(ll x,ll y){return (G[x]-G[y])<<1;}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&L);
    for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+read(),f[i]=1ll<<62;
    for(int i=0;i<=n;++i) T[i]=sum[i]+i,G[i]=T[i]+L+1;
    q[tail++]=f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while((tail-head>1)&&calu(q[head+1],q[head])<=T[i]*cald(q[head+1],q[head])) head++;
        f[i]=calf(i,q[head]);
        while((tail-head>1)&&calu(i,q[tail-1])*cald(q[tail-1],q[tail-2])<=cald(i,q[tail-1])*calu(q[tail-1],q[tail-2])) tail--;
        q[tail++]=i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
    return 0;
}