最小乘积生成树和最小乘积最大匹配

两个知识的本质是一样的。都是每条边有k个权值（一般k为2），现在要取一个边集M使得其将所有点连通，并使每一种边权的总和的乘积最小。不同的是一个是生成树一个是匹配。

对于这一类问题，我们都可以把每种方案的x之和与y之和作为它的坐标(x,y)

要让乘积最小，那么可能的方案的坐标一定在一个下凸壳上。

首先我们求出x最小的方案的坐标，再求出y最小方案的坐标

这就是凸壳的两个端点A，B。

然后考虑分治，每次找出离直线AB最远的点C，再继续处理

要使距离最远，就是使向量AB和向量AC的叉积最大

即最大化(c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(c.y-a.y)*(b.x-a.x)

即c.x*(b.y-a.y)+c.y*(a.x-b.x)       -a.x*(b.y-a.y)+a.y*(b.x-a.x)

后面的一部分是常数，不用管。

就是要使c.x*(b.y-a.y)+c.y*(a.x-b.x) 最大化

对于生成树来说就用kruscal算法，匹配则是KM算法确定c，然后对AC、CB递归做同样的过程，直到找不到一个在左下的点C为止。

最小乘积生成树算法：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 205
#define M 10100
#define inf 0x3f3f3f3f
struct Edge
{
    int u,v;
    int a,b;
    int c;
    void read(){
        scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&a,&b);
        u++;
        v++;
    }
}e[M];
bool cmpa(const Edge &a,const Edge &b){
    return a.a<b.a;
}
bool cmpb(const Edge &a,const Edge &b){
    return a.b<b.b;
}
bool cmpc(const Edge &a,const Edge &b){
    return a.c<b.c;
}
struct Point{
    int x,y;
    void print(){
        printf("%d %d
",x,y);
    }
    Point(int _x=0,int _y=0):x(_x),y(_y){}
    bool operator < (const Point &A) const
    {
        unsigned int p=x;
        p*=y;
        unsigned int q=A.x;
        q*=A.y;
        return p==q?x<A.x:p<q;
    }
}ans,now,mina,minb;
int f[N],n,m;
int find(int x){
    return f[x]==x?f[x]:f[x]=find(f[x]);
}
Point kruscal()
{
    int i,fa,fb;
    now=Point(0,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        fa=find(e[i].u);
        fb=find(e[i].v);
        if(fa!=fb){
            f[fb]=fa;
            now.x+=e[i].a;
            now.y+=e[i].b;
        }
    }
    if(now<ans)
        ans=now;
    return now;
}
int xmul(const Point &A,const Point &B,const Point &C)
{return (C.y-A.y)*(B.x-A.x)-(C.x-A.x)*(B.y-A.y);}
void work(const Point &a,const Point &b)
{
    for(int i=1;i<=m;i++){
        e[i].c=e[i].b*(a.x-b.x)+e[i].a*(b.y-a.y);
    }
    sort(e+1,e+m+1,cmpc);
    Point c=kruscal();
    if(xmul(a,b,c)<=0)
        return;
    work(a,c);
    work(b,c);
}
int main()
{
//  freopen("test.in","r",stdin);

    int i,j,k;
    int a,b,c;
    ans=Point(inf,inf);

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++)e[i].read();
    sort(e+1,e+m+1,cmpa),mina=kruscal();
    sort(e+1,e+m+1,cmpb),minb=kruscal();
    work(minb,mina),ans.print();
    return 0;
}

最小乘积匹配：

#include<iostream>

#include<cstring>
#include<cstdio>
#define inf 0x7fffffff
struct poi{int x,y;}le,ri;
int lx[75],ly[75],sla[75];
int g[75][75],a[75][75],b[75][75],f[75];
int n;
bool vx[75],vy[75];
bool operator ==(poi a,poi b){return a.x==b.x&&a.y==b.y;}
using namespace std;
bool dfs(int x)
{
    vx[x]=true;
    for (int y=1; y<=n; y++)
    {
        if (!vy[y])
        {
            int t=lx[x]+ly[y]-g[x][y];
            if (!t)
            {
                vy[y]=true;
                if (!f[y]||dfs(f[y]))
                {
                    f[y]=x;
                    return true;
                }
            }
            else sla[y]=min(sla[y],t);
        }
    }
    return false;
}
poi km()
{
    memset(lx,0,sizeof(lx)); memset(ly,0,sizeof(ly)); memset(f,0,sizeof(f));
    for (int i=1; i<=n; i++) for (int j=1; j<=n; j++)  lx[i]=max(lx[i],g[i][j]);
    for (int x=1; x<=n; x++)
    {
        memset(sla,63,sizeof(sla));
        while (true)
        {
            memset(vx,0,sizeof(vx)); memset(vy,0,sizeof(vy));
            if (dfs(x)) break;
            int d=inf;
            for (int i=1; i<=n; i++) if (!vy[i]) d=min(d,sla[i]);
            for (int i=1; i<=n; i++)
            {
                if (vx[i]) lx[i]-=d;
                if (vy[i]) ly[i]+=d;
            }
        }
    }
    poi ans=(poi) {0,0};
    for (int i=1; i<=n; i++) ans.x+=a[f[i]][i], ans.y+=b[f[i]][i];
    return ans;
}
int slove(poi l,poi r)
{
    for(int i=1; i<=n; i++) for (int j=1; j<=n; j++) g[i][j]=a[i][j]*(r.y-l.y)+b[i][j]*(l.x-r.x);
    poi mid=km();
    if (l==mid||r==mid) return min(l.x*l.y,r.x*r.y);
    else
    return min(slove(l,mid),slove(mid,r));
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for (int z=1; z<=t; z++)
    {
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1; i<=n; i++) for (int j=1; j<=n; j++) scanf("%d",&a[i][j]);
        for (int i=1; i<=n; i++) for (int j=1; j<=n; j++) scanf("%d",&b[i][j]);
        for (int i=1; i<=n; i++) for (int j=1; j<=n; j++) g[i][j]=-a[i][j];le=km();
        for (int i=1; i<=n; i++) for (int j=1; j<=n; j++) g[i][j]=-b[i][j];ri=km();
        printf("%d
",slove(le,ri));
    }
}