背包的第k优解[动态规划]

From easthong ☆背包的第k优解

	描述 Description
		DD 和好朋友们要去爬山啦！他们一共有 K 个人，每个人都会背一个包。这些包的容量是相同的，都是 V。可以装进背包里的一共有 N 种物品，每种物品都有给定的体积和价值。 在 DD 看来，合理的背包安排方案是这样的：   1. 每个人背包里装的物品的总体积恰等于包的容量。   2. 每个包里的每种物品最多只有一件，但两个不同的包中可以存在相同的物品。   3. 任意两个人，他们包里的物品清单不能完全相同。 在满足以上要求的前提下，所有包里的所有物品的总价值最大是多少呢？

	输入格式 Input Format
		第一行有三个整数：K、V、N。 第二行开始的 N 行，每行有两个整数，分别代表这件物品的体积和价值。

	输出格式 Output Format
		只需输出一个整数，即在满足以上要求的前提下所有物品的总价值的最大值。

	样例输入 Sample Input

	样例输出 Sample Output

	时间限制 Time Limitation
		1s

	注释 Hint
		数据范围 总人数 K<=50。 每个背包的容量 V<=5000。 物品种类数 N<=200。 其它正整数都不超过 5000。 输入数据保证存在满足要求的方案。

	来源 Source
		dd 2007 dp 模拟赛

 

慢慢啃

f[j][u]表示空间为j时的第u优解;

 

性质:加了一个u循环操作的01背包,i表示加入第i个物品则循环顺序从外到里为i->j->u(就是把原本f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j])的位置变成u的循环操作而已);

 

初始化: 

f[j][u]=负无穷(u循环操作前要判定f[j-w[i]][1]>=0),f[0][1]=0;

 

u的循环操作:

1.已知f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j]),即f[j]有两种取值方案;

用两个数组st1[u]和st2[u]分别储存f[j-w[i]][u]+v[i]和f[j][u];

2.因为f[j][u]一定优于f[j][u+1],所以st1[u]一定优于st1[u+1],st2[u]同理,所以只需要比较st1和st2中的元素就可以得到当前可以取到的最优值;

所以f[i][u]等于st1[tail1]和st2[tail2]中较大的;

3.因为不能有一样的方案,所以st1[tail1],st2[tail2]中较大的数被f[i][u]取值后,对应的tail++(tail在u循环开始前定义为0或者1);

 

 

随着j的增大,方案数是树状增多的,但是前u个最优方案一定是在这棵树的某一个分支上,这个分支的父节点一定是某一个阶段的最优方案,就像分封制一样,离最后的最优方案血缘关系越远优秀程度越差,嗯我是这么理解的.....

 

因为动态规划每一个阶段的方案只和前一个阶段有关,所以可以在输入数据后直接j循环,不需要v[i]w[i]之类存储每一个状态的数组...

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int k,v,n;
long long f[5010][51]={};
long long st1[5010]={};
long long st2[5010]={};
int main(){
    cin>>k>>v>>n;
    for(int i=0;i<v;i++){
        for(int j=0;j<=k;j++){
            f[i][j]=-99999999;
        }
    }
    f[0][1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        for(int j=v;j>=a;j--){
            if(f[j-a][1]>=0){
                int p1=1,p2=1;
                for(int u=1;u<=k;u++){
                    st1[u]=f[j-a][u]+b;
                    st2[u]=f[j][u];
                    if(st2[p2]>=st1[p1]) f[j][u]=st2[p2++];
                    else f[j][u]=st1[p1++];
                }
            }
        }
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        ans+=f[v][i];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}