欧拉函数及费马小定理

2016.1.26

 

欧拉函数：

对于m=p₁^e1 . p₂^e2 . p₃^e3 . …… . p_n^en  （唯一分解）  

欧拉函数定义为φ(m)=m * ∏(p_i – 1)/p_i

其意义为不超过m并且和m互素的数的个数

特别的φ（1）=1

证明：

        首先不知道容斥原理的先了解一下

        于是可以得到φ(m)=n-n/p₁-n/p₂-...-n/pn+n/(p1p2)+n/(p1p3)+...+n/(p_k-1p_k)-...........

        然后再来看公式φ(m)=m * ∏(1– 1/p_i)

         把右边展开【众人：你逗我

         当然不是真的展开,事实上我们展开的每一项无非是从每个括号中选一个，不是1就是-1/p_i ，然后乘起来得到的。

         这时的你是否有一丝激动！

         这不就是和容斥原理一毛一样！

         然后就得证了！

 

欧拉定理：

对于和m互素的x，有x^φ(m)≡1(mod m)

证明：

设所有n以下和n互质的数依次为X₁,X₂,…,X_φ(n)

设k为一个与n互质的数，那么设A={kX₁, kX₂,…, kX_φ(n)}

【那么A中没有两个数模n同余】

证明：假设ak≡bk(mod n)

      那么有ak-bk=nq,即(a-b)k=qn,所以左式模n为0

      然而k与n互质，1<(a-b)<n，所以(a-b)也模n不等于0

      那么显然上式不成立

      证毕

【A中所有数的余数都与n互质】

证明：假设gcd(kX_i mod n, n)=r

      那么kX_i=qn+pr

      那么kX_i也有因子r，那么kX_i与n不互质，显然不可能

      证毕

 

那么由以上两个结论可知A中的数模n的余数应该与X₁,X₂,…,X_φ(n) 唯一对应。

即X₁*X₂*…*X_φ(n) ≡ kX₁*kX₂*…*kX_φ(n) (mod n)

也就是说0 ≡ (k^φ(n)-1)*X₁*X₂*…*X_φ(n) (mod n)

显然X₁*X₂*…*X_φ(n)是与n互质的，所以k^φ(n)-1≡0(mod n)

k^φ(n)≡1(mod n)

得证

 

费马小定理：

 

特别的，当p为素数时，x无法被p整除，φ(p)=p-1，于是便有费马小定理X^p-1≡1(mod p)

在p是素数时，对任意正整数x都有X^p≡X(mod p)

 

于是对于a的逆元x，有ax≡1(mod m),对于a,m互素且m为素数时，有x=a^m-2，于是我们可以通过快速幂快速求出a的逆元。

另外，借助素数筛，我们还可以很快的求出1-n的欧拉函数值。每当我们找到一个素数，就把他的倍数的欧拉函数值乘上（p-1）/p.

而且，借助费马小定理我们可以实现对除法取模。