关于n！mod p

2016.1.26

 

让我们来研究一下关于n!在mod p下的性质，当然这里p是质数。

首先n!=a*p^e,其中p不可整除a。我们现在来做两件事情，求e和a mod p.

显然，n/p表示[1,n]中p的倍数的个数，我们把[1,n]所有的数都除以p，那么剩余的数里还是p的倍数的数在除之前一定至少含有因子p²，那么在除以p之后的序列里p的倍数的个数就是n/p²。

如此下去，我们便可以知道，n！所含因子p的个数e=n/p+n/p²+n/p³+……

这样算出来的时间复杂度显然是O( log_p(n) ).

 

然后再说a mod p怎么做。

显然[1,n]中非p倍数模p的余数成周期性，如下所示：

1,2,3,…,p-1,1,2,…,p-1,1,2,…,p-1,1,2,…,n mod p(最后一个周期可以不完整)

那么，就有a=(p-1)!^(n/p) * (n mod p)!.

根据威尔逊定理，(p-1)!≡-1(mod p).

于是就有a≡(-1)^(n/p) * (n mod p)! (mod p)

这下好办了吧