P1045 麦森数

这道题纯粹是考数学。编程复杂度不大（别看我写了一百多行其实有些是可以不必写的）。

计算位数不必用高精时刻存，不然可想而知时间复杂度之大。首先大家要知道一个数学公式 logn(a*b)=logn(a)+logn(b)至于证明翻数学书吧。而且，用log10(n)+1即可求出n的位数。则2^p的位数=log10(2^p)+1=p*log10(2)+1。这样，我们算的时候就不必随时存着位数了。

但是，如果直接写高精和n次循环，时间复杂度依旧很高。所以我们就要用快速幂。幂的运算是初中内容，几个公式如下:n^a*n^b=n^(a+b)，(n^a)^b=n^(a*b)。

所以，我们就可以将乘方的复杂度优化成O(logn)了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Hint {
static const int MAX=4000;
short a[MAX+1];
int Len;
Hint() {
memset(a,0,sizeof(a));
Len=1;
}

Hint operator=(std::string N) {
memset(a,0,sizeof(a));
if(N[0]=='-') {
Len=N.size()-1;
a[0]=1;
for(int i=1; i<=Len; ++i)
a[i]=N[Len-i+1]-'0';
return *this;
}
if(N[0]=='+') {
Len=N.size()-1;
a[0]=0;
for(int i=1; i<=Len; ++i)
a[i]=N[Len-i+1]-'0';
return *this;
}
Len=N.size();
for(int i=1; i<=Len; ++i)
a[i]=N[Len-i]-'0';
return *this;
}

Hint operator=(const int & b) {
char s[MAX+1];
sprintf(s,"%d",b);
*this=s;
return *this;
}

Hint(std::string N) {
*this=N;
}
Hint(const int &b) {
*this=b;
}

int read() {
char s[MAX+1];
int t=scanf("%s",s);
*this=s;
return t;
}

void write() {
int r,re=1,now=0;
for(int i=Len; i>=1; --i) {
cout<<a[i];
++now;
if(now%50==0)cout<<endl;
}
}
Hint operator*(Hint x) {
Hint c;
c.Len=Len+x.Len;
for(int i=1; i<=Len; ++i) {
for(int j=1; j<=x.Len; ++j) {
c.a[i+j-1]+=a[i]*x.a[j];
if(c.a[i+j-1]>=10) {
c.a[i+j]+=c.a[i+j-1]/10;
c.a[i+j-1]%=10;
}
}
}
c.Len=500;
return c;
}

}two,ans;

int p;

Hint quick_power(int y)
{
if(y==1)return two;
if(y==0)return 1;
Hint re;
if(y%2==0)
{
re=quick_power(y/2);
re=re*re;
}
else
{
re=quick_power(y/2);
re=re*re*two;
}
return re;
}

int main()
{
two=2;
cin>>p;
cout<<(long long)(log10(2)*p+1)<<endl;
ans=quick_power(p);
ans.a[1]-=1;
ans.write();
return 0;
}