利用 Heading、Pitch 、Roll 计算 Omega、Phi、Kappa

OPK系统描述的是地辅坐标系(m)与像空间坐标系(i)之间的关系，HPR系统描述的则是导航坐标系(g)与IMU坐标系(b)之间的关系, 是两种完全不同的角元素系统, 因此不能直接将 HPR角度作为外方位角元素用于摄影测量处理。但是, GPS/INS 系统输出常常采用HPR角元素系统, 例如加拿大Applanix公司的POS/AV系统, 其后处理软件PosProc的输出结果为HPR角度以及IMU中心的地心坐标, 必须要将其转换成摄影测量所用的外方位元素。

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参考文献1：GPS_INS系统HPR与OPK角元素的剖析与转换_刘军

参考文献2：New Calibration and Computing Method for Direct Georeferencing of Image and Scanner Data Using 

The roll, pitch and heading angles are used to transform a vector from the body coordinate system into the navigation system or vice versa.

The transformation matrix itself is calculated by three consecutive rotation matrices in the following order: 1st rotation: roll around x-axis; 2nd rotation: pitch around y-axis; 3rd rotation: heading (yaw) around z-axis. The combination of the three rotations results in the following orthogonal transformation matrix:

第一旋转：绕X-轴；第二旋转：绕Y-轴；第三旋转：绕Z-轴。这三个旋转导致如下的旋转矩阵：

可以通过以下方式轻松执行从导航坐标系到车身坐标系的逆变换：

 用于索引的符号直接表示转换方向：较低的索引表示原始系统，较高的索引表示目标系统。示例：如果相机或GPS天线的原点安装在不同的位置，则需要进行杆臂变换，以将GPS天线的位置转移到相机。由于杠杆臂r^b是在车身3坐标系中测量的，因此必须应用到导航坐标系rⁿ的转换。这是通过以下方式实现的：

通过以下方式执行逆变换：

如果变换矩阵已知，则可以直接从其元素C_ij（i=列，j=行）重新计算欧拉角（滚转φ，俯仰θ，航向ψ）：

，，

 如前所述，导航坐标系与当地标高和向北方向有关。如果是粗纱机，该坐标系不是固定的，但会随着粗纱机的速度而变化（见图2）。

 图2：运输速率、地球速率、导航坐标系及其与地心地球固定坐标系（ECEF）的关系。

这些变化称为传输速率Wenn，其矢量可通过以下公式计算：

V_N: north velocity

V_E: east velocity

φ,λ h:ellipsoidal geographic coordinates(latitude, longitude, height)

R_N, R_E: mean radii of the earth ellipsoid

在地心地球固定坐标系（ECEF，索引e）的帮助下，可以实现不同导航系统及其轴线方向之间的关系。这是通过以下两个包含椭球体地理坐标φ,λ的旋转矩阵执行的：

 

 结果是一个转换矩阵，用于将矢量从ECEF系统（e系统）转换为任何导航系统（n系统），或反之亦然：

ECEF系统——>导航系统：

导航系统——>ECEF系统：

所有坐标系（b系、n系、e系）均为右手三维笛卡尔坐标系。

3. 摄影测量中使用的坐标系和角度的基本要素

惯性导航中使用的身体坐标系（b系统）似乎与摄影测量中使用的图像坐标系（b系统）相似。图像坐标系由摄像机或CCD传感器的基准标记实现。原点是焦距c到主点距离内的投影中心O（见图3）。摄影测量中使用的不是导航系统（n系统），而是非常类似的地球固定地形或物体坐标系（E系统）。除了坐标系的不同方向外，旋转角度（j、w、k）的定义顺序也非常不同，具体取决于摄影测量制图系统。

图3：摄影测量中使用的坐标系和旋转角度的定义：图像坐标系B、地形或物体坐标系E和旋转角度φ,ω,κ

对象坐标系的一个典型候选是Gauß-Krüger坐标系或等效映射系统。但为了避免使用左手坐标系，x轴指向东方，y轴指向北方，而z轴的方向（高度）与天顶对齐。这种地球椭球体的测绘系统具有非唯一的比例，但是子午线偏差影响相对于地理方向的方向。通过使用与水平面相切的空间笛卡尔坐标系，可以避免这些困难。

 

 矩阵乘法的结果为：

 

这两个矩阵都是正交矩阵。因此，其逆变换由下式给出：

虽然航空标准在摄影测量中有明确定义，但每个系统都有自己的特定定义，例如，对于BLUH和PATB，图像坐标系的轴方向如图4所示。其定义不同于导航中使用的身体坐标系（见图5）。

 图4:BLUH（左）和PATB（右）图像坐标系方向的定义

 图5：导航中使用的身体坐标系的定义

在建立适当的矩阵后，可以通过以下方法将图像坐标系中的向量转换为对象坐标系中的向量，或者将图像坐标系中的向量转换为对象坐标系中的向量

对象到图像坐标系（E-到B-坐标系）

图像到对象坐标系（B-到E-系统）

在这种表示法中，要变换的向量（输入）位于方程的右侧，目标系统的向量（输出）位于左侧。右侧向量的上索引必须与要相乘的变换矩阵的下索引一致，而其上索引表示目标系统。请注意，括号中转置矩阵或逆矩阵的索引是相反的。这将简化以下推导。

如果已知其中一个变换矩阵，则可以从其矩阵元素Cij重新计算旋转角度（j，w，k），对于该矩阵元素，旋转顺序的定义至关重要。表1显示了两个系统BLUH和PATB的结果：

  表1：根据旋转矩阵的矩阵元素计算旋转角j、w、k

4. 推导用于直接地理参考的INS姿态角和航向角转换公式

前两章的主题集中于单独处理旋转和变换矩阵，以及导航和摄影测量中用于将矢量从一个系统转换为另一个系统的相应旋转角度。表2显示了结果的管理概要。

要将INS的姿态角和航向角（ϕ,θ, ψ)转换为摄影测量角（φ,ω,κ），必须考虑不同的坐标系和旋转角定义。此外，还必须考虑所使用的测绘系统，以及是否在摄影测量系统中应用了由地球曲率和子午线偏差引起的校正。由于这个原因建议使用空间笛卡尔切面坐标系作为对象坐标系。该坐标系的原点应与图像块的中心重合。

 表2：导航和摄影测量中使用的不同坐标系、矢量、角度和变换矩阵的简要概述

由于导航和摄影测量中坐标轴的方向不同，需要两个附加的变换矩阵来获得等效方向的系统。这些是：

1.矩阵将向量从b系统转换为b系统，反之亦然：T_b^B

2.矩阵，用于将向量形式的n系统转换为E系统，反之亦然：T_n^E

矩阵由以下元素组成：

使用这些矩阵，可以执行以下四种向量变换：

车身到图像坐标系（b到b）：

图像到实体坐标系（B到B）：

导航到对象坐标系（n到E）：

对象到导航坐标系（E到n）：

最后提到的变换仅在切线平面坐标系用作E 系，或者在Gauß-Krüger坐标系下，由于地球曲率和子午线偏差而进行的修正时有效。否则，需要进一步的变换矩阵来补偿这些影响：

λ₀^GK：高卢-克鲁格坐标系的平均子午线

对于直接地理参考，必须从投影中心惯性确定的坐标以及相应的姿态和航向角为每个图像推导出从图像坐标系（B系统）到地形系统（E系统）（或其逆矩阵）的变换矩阵（f，q，y）。然后，在最后一步中，必须从导出的矩阵中额外计算摄影测量角度φ，ω和kappa（j，w，k）。

对于每个暴露点i，必须根据切平面系统原点P0的姿态角和航向角（fi、qi、yi）、椭球地理坐标（j i、li）和椭球地理坐标（j 0、l0）计算以下矩阵：

对于Gauß-Krüger坐标，需要额外的矩阵，否则，该矩阵必须由单位矩阵I代替。

现在可以执行以下五个转换：

1. ，结果：从b系统到e系统

2. ，结果：b系统到n0系统（P0中的导航系统）

3. ，结果：b系统到n系统

4.，结果：n’-系统到B-系统

5. ，结果：E-系统到B-系统

通过一些矩阵运算，将得到的所有变换矩阵组合在一起：

 摄影测量旋转角度φ，ω，kappa（j，w，k）必须如上所示进行计算。

5. 惯性导航系统与摄像机之间错位的处理和调整

高精度应用（更好的0.1°）需要对INS和摄像机之间的不对中进行特殊处理。对于此类应用，INS应牢固安装在摄像机上。在实践中，惯性导航系统和摄像机的轴完全平行的理想情况无法达到必要的精度。因此，必须对小误差角（未对准，见图6）进行校准，并在转换中额外考虑。

 图6:INS和摄像机之间的偏差e_x、e_y、e_z

由于姿态和航向角定义的身体坐标系b未对准，相机参考稍微旋转的身体坐标系b*。通常，围绕三个轴的偏差ex、ey、ez为小角度（<3°），差速旋转矩阵就足够了。在进一步使用之前，该微分旋转矩阵还用于转换原始变换矩阵Cbn。具体做法如下：

利用微分旋转矩阵：

这导致以下完整的转换矩阵，其中包括未对准：

如果INS固定在摄像机上，则偏差ex、ey、ez应保持恒定。通常，无论是惯性导航系统的轴还是由基准标记定义的摄像机的轴，都无法用常规大地测量方法轻松测量，因此，使用特定的在岗校准程序来确定偏差。在本程序中，将带摄像机和INS的完整系统置于具有良好测量控制点的试验区上空进行试飞。然后对每张照片进行光束调整，确定角度φ、ω和kappa（j、w、k）。这些角度以及INS测量的投影中心的相应角度和位置用于估计偏差。

在使用每个图像的以下数据的调整中执行失调的估计：

·惯性衍生角：f，q，y
·光束平差中确定的摄影测量角度：j、w、k
·投影中心的三维坐标（椭球地理坐标j、l、h、地心坐标X、Y、Z或Gauß-Krüger坐标E、N、h）

调整模型的未知值由偏差矩阵（1）中包含的偏差ex、ey、ez形成。当考虑方程（2）时，左侧的CEB矩阵可根据摄影测量确定的角度进行计算。在右侧，所有矩阵（未对准矩阵除外）都可以从惯性确定的数据中导出。要应用调整模型，必须隔离包含偏差的矩阵。经过一些变换后，方程（2）可以写成