BZOJ1742[Usaco2005 nov]Grazing on the Run

Description

John养了一只叫Joseph的奶牛。一次她去放牛，来到一个非常长的一片地，上面有N块地方长了茂盛的草。我们可

以认为草地是一个数轴上的一些点。Joseph看到这些草非常兴奋，它想把它们全部吃光。于是它开始左右行走，吃

草。John和Joseph开始的时候站在p位置。Joseph的移动速度是一个单位时间一个单位距离。不幸的是，草如果长

时间不吃，就会腐败。我们定义一堆草的腐败值是从Joseph开始吃草到吃到这堆草的总时间。Joseph可不想吃太腐

败的草，它请John帮它安排一个路线，使得它吃完所有的草后，总腐败值最小。John的数学很烂，她不知道该怎样

做，你能帮她么？

Input

* Line 1 : Two space-separated integers: N and L. N<=1000

* Lines 2..N+1: Each line contains a single integer giving the position P of a clump (1 <= P <= 1,000,000).

Output

* Line 1: A single integer: the minimum total staleness Bessie can achieve while eating all the clumps.

Sample Input

4 10
1
9
11
19
INPUT DETAILS:
Four clumps: at 1, 9, 11, and 19. Bessie starts at location 10.

Sample Output

44
OUTPUT DETAILS:
Bessie can follow this route:
* start at position 10 at time 0
* move to position 9, arriving at time 1
* move to position 11, arriving at time 3
* move to position 19, arriving at time 11
* move to position 1, arriving at time 29
giving her a total staleness of 1+3+11+29 = 44. There are other routes
with the same total staleness, but no route with a smaller one.44

题解：这道题因为牛一直在左右走，所以全部吃完后牛一定停在最左边的那块草地或最右边的那块草地，同样的是，对于区间i草地到j草地来说，当牛吃完这块草地的时候，它一定停在i草地或j草地上，我们用f[i][j][0]表示牛吃完区间i到j，并停在i草地所得的腐烂值，f[i][j][1]表示停在j草地所得的腐烂值。a储存每块草地的位置。

为了后面的计算方便，我们把牛的最初位置也算作一块草地，只不过f[i][i][0]=f[i][i][1]=0,是没有值的。所以n在一开始会加上1。

则动态转移方程为：

f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(n-j+i),f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(n-j+i));
f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(a[j]-a[i])*(n-j+i),f[i][j-1][1]+(a[j]-a[j-1])*(n-j+i));

首先我们先看第一个式子 f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(n-j+i),f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(n-j+i));

f[i][j][0]表示牛吃完区间i到j，并停在i草地所得的腐烂值,那说明i草地是这块区间内最后被吃的，即在这之前i+1到j块草地已经被吃过了，且牛停在i+1块草地或是j块草地上，

当它之前停在i+1块草地上时，即之前的腐烂值为f[i+1][j][0]时，我们只需在之前的腐烂值上，加上第i+1块草地到第i块草地，所会带来的总腐烂值，就是现在的答案啦。

那么什么是所会带来的总腐烂值呢？当牛从i+1到i时，所需经过的路程为a[i+1]-a[i],即之后吃的每块草地都需加上这个腐烂值，总共有n-j+i（这个值是把牛最初的位置也当成一块草地的前提下推出来的，就是n-(j-i)）块草地未被吃，所以之后总共要增加的腐烂值为(a[i+1]-a[i])*(n-j+i)，总腐烂值就是f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(n-j+i)，我们再把它和牛之前停在第j块草地上所需增加的腐烂值进行比较，取较小的就是f[i][j][0]的值。

第二个式子也是差不多的，可以自己去推一下。

还有一点，让我错了5次，就是一开始f[i][i][0]和f[i][i][1]是不能全部都算作无限大的，而应该赋值为它与牛初始位置之差并乘上n，即一开始就只吃那块草地所会为其他草地带去的腐烂值。

记得排序！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,l,j,a[2000],f[2000][2000][2];
int main()
{
  cin>>n>>l;
  for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
  a[n+1]=l;
  n+=1;
  sort(a+1,a+1+n);
  for (int i=1;i<=n;i++)
  f[i][i][0]=f[i][i][1]=abs(a[i]-l)*n;//这里的初始化一定要小心！
  for (int len=2;len<=n;len++)
   for (int i=1;i<=n-len+1;i++)
   {
        j=i+len-1;
        f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(n-j+i),f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(n-j+i));//吃完i到j这个区间并停在i所获的最小腐烂值
        f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(a[j]-a[i])*(n-j+i),f[i][j-1][1]+(a[j]-a[j-1])*(n-j+i));//这个是停在j的
//奇怪的方程。。。在前面写过意思了
   }  
   cout<<min(f[1][n][1],f[1][n][0])<<endl;//输出最优解。
   return 0;
}